Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 81

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 159 >> Следующая

Ук(х), притом на основании той же теоремы будет выполнено начальное
условие (1).
Так как, далее, постоянные а, р, у и р, т подчиняются соответственно
условиям (2) и (2|), то все А*, суть числа неотрицательные. Отсюда
следует, что ряд (4), сходящийся абсолютно и равномерно при t = 0, и
подавно сходится абсолютно и равномерно при всяком положительном t, ибо,
начиная с некоторого значения k = к0 (к0 = 1),
"Г**' <1 при к>к0, />0,
что непосредственно вытекает из неравенства (124) гл. V.
6. Рассмотрим теперь ряды (5) и (7). Мы знаем (п. 29 предыдущей главы) ,
что ряд
2 \AkVk(x) I
*= I
сходится равномерно в промежутке [а, й]. Но в силу вышесказанного
А*<ГЛ*'<1 при к'>к'0, />0,
где к'о есть некоторое достаточно большое целое число. Отсюда сейчас же
следует, что ряд (5) сходится абсолютно и равномерно в промежутке [а, Ь]
при всяком /> 0.
Что же касается ряда (7), то он в силу уравнений, которым удовлетворяют
функции Vk (х), приводится к виду
* = 1
= q(x) i Ake-Kk> Vk(x)-p(x) ? Ak \k**' Vk(x).
* = i * = i
Так как на основании только что доказанного каждый из рядов ? Ake-K^Vk(x)
и ? Ak\ke-Kk'Vk(x)
k - • * = 1
сходится абсолютно и равномерно в промежутке [а, Ь ], коль скоро / > 0,"
206
то ряд левой части предыдущего равенства сходится равномерно при тех же
условиях.
Итак, ряд (7) сходится равномерно в промежутке [а, Ь\ при всяком t > 0.
7. Остается рассмотреть условия равномерной сходимости ряда (6) :
5= ? Ake~K*'V{(x). (6.)
* = I
В п. 5 гл. IX (равенство (11) показано, что
- и2(х) Мк (х) + со, (х) Nk (Ь) - со2(х) Мк (Ь) J, (8) где, напомним (см.
п. 12 гл. V),
Мк(х)= /р")и,ФМ*)<?.
а
(9)
Nk0e)= f P(t)u2(t)Vk(S)dt, а
a u^x), и2(х), со,(х) и со2(х) суть функции от х, непрерывные в
промежутке \а, Ь] вместе с их производными двух первых порядков.
Из равенства (8) выводим
Г*'(*) = Л* {"',(*)/V*(*) ~
- и2(х)Мк(х) + ы\(х)Мк(Ь) - шг(х)Мк(Ь)} (10)
Подставив это выражение в (6,), напишем ряд S в виде
$ = "',(дг) ? Л*Л*е-^/У*(*)-ни*) | Ак\ке~^Мк(х) +
*¦5 1 * = I
+ со',(х) ? Ak\ke~XktNk(b) - w2(x) ? Ак\ке~К^Mk(b). (11)
*= I *=i
8.'Обозначим через (c)(?) функцию, определяемую следующими условиями:
(c)(?) = Иг(?) при а<%<х.
0(5) = 0 при х < ? < Ь.
Можем писать, приняв во внимание (9),
/V*(*)= /р(йв") Г* (*)<**¦
а
Применив неравенство (8) гл. I к ортогональной системе функций И*(?) и
заменив в нем /(*) через (c)(?), получаем
? N2k(x)< /р")в*(*)<Я = f ptt)"i")rff
* в | в a
207
Отсюда следует, что при всяком х
1 Ng(x)<K2, (12)
к- I
где К2 есть число, не зависящее от х, ибо
/ P(S)uhS)dl-<nil / рф</$, а а
гдеш0 есть max I (5) I в промежутке [а, Ь\.
Рассмотрим ряд
? \Ак| \Nk(x)\. (13)
*= I
1 00
Так как I>1 (jc) i < - (Ак + Nk(x)) и каждый из рядов 2 А\ и
,2 *=¦
2 N\(x) сходится, то ряд (13) также сходится при всяком х в проме-
к- I
жутке [а,Ь\. Обозначив его остаточный член через R" (дг), можем писать
/?"(*) = 2 \AkWNk(x)\ У 2 ATfox),
к = п +I *=|
откуда в силу (12) и абсолютной замкнутости системы функций Ук(х)
заключаем, что
/?"(x)</ie = е' при п>п0,
где е'есть наперед заданное положительное число, не зависящее от х, а п0
- некоторое соответствующим образом выбранное целое число.
Следовательно, ряд (13) сходится равномерно в промежутке [а, Ь\. Так как,
далее, при достаточно большом к и при t> 0 X* е~ f < 1, то и ряд
2 Х*е-Л*г \AkNk(x)\
к= I
сходится равномерно в рассматриваемом промежутке. Отсюда следует, что ряд
2 Ak\ke~k^Nk(x)
к= I
сходится абсолютно и равномерно в промежутке [а, Ь\ при всяком t > 0.
Совершенно таким же способом докажем, что и ряд
2 Ak\ke-kk>Mk(x)
k= I
сходится равномерно в промежутке [а, Ь\ при I > 0.
Что же касается рядов
? А^е-^* Nk(b) и 2 Ak\ke~k^Mk(b),
k=I *= l
то они не зависят от х и абсолютная их сходимость при г > 0 вытекает
непосредственно из абсолютной замкнутости функций Vk (х)
208
Из сказанного следует, что ряд S, определяемый равенством (11),
сходится равномерно (и абсолютно) в промежутке \а, Ь\ при всяком
г> О*).
9. В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что функция f(x)
удовлетворяет условиям п. 30 предыдущей главы, что было необходимо для
доказательства того, что ряд
U(x,t)= ? Аке~^г Vk{x) (13,)
*=i '
сходится равномерно при t = 0 и сумма его равна данной функции f(x).
На абсолютной и равномерной сходимости ряда
1/(дг,0) = ? АкУк(х)
*= 1
мы и основывали доказательство равномерной сходимости рядов (13,), (5) и
(7) при t > 0.
Но нетрудно убедиться, что при положительном г, не равном нулю, эти ряды,
равно как и ряд (6), сходятся абсолютно и равномерно, какова бы ни была
функция fix), подчиненная единственному условию быть интегрируемой в
промежутке [а,Ь], т.е. ряд (13,) представляет при всех значениях г >0 и
для значений х, принадлежащих промежутку [а,Ь], непрерывную функцию от t
и х, имеющую непрерывную первую производную по t и такие же производные
двух первых порядков по х, удовлетворяющую уравнению (А) и предельным
условиям (а) или (Ь) (при г> 0).
Предыдущая << 1 .. 75 76 77 78 79 80 < 81 > 82 83 84 85 86 87 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed