Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет условию Коши. Возьмем, как и раньше, равенство
и, сохраняя обозначения п. 10 предыдущей главы, составим равенство
которое, придерживаясь прежней терминологии, будем называть производным
от равенства (3), а ряд правой его части - производным от ряда правой
части (3).
Выводы, полученные при помощи приемов, изложенных в предыдущей главе,
существенным образом зависели от свойства интеграла
который для краткости мы назвали квадратичной погрешностью производного
ряда, а именно от его свойства не превосходить некоторого конечного
числа, не зависящего от п. Мы вывели это,свойство, общее для всех
фундаментальных функций Vk (х), рассматривая выражение S*1* (/), данное
равенством (40) п. 12 предыдущей главы.
Мы составим теперь другое выражение для квадратичной погрешности
производного ряда, рассмотрение которого приведет к решению задачи (В) о
разложении произвольных функций по фундаментальным функциям Vk(x), в
случае соблюдения условий (1) и (2), а также и для функций всех трех
предельных классов, с такими важными подробностями, которые не вытекают
из формул предыдущей главы.
3. Равенство (4) дает непосредственно
где последняя сумма распространяется на все различные целые значения п и
m от 1 до п. Применяя интегрирование по частям и принимая во внимание
дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют одинаково все
фундаментальные функции всех классов, и условия их ортогональности и
нормальности, получаем
/(*)= ? Ak Vk(x) + р"(х)
(3)
* = I
/'(х)= ? АкУЦх) + рЦх),
(4)
S"( V)- / Р? (x)dx,^
а
(5)
^,)(/)= ff'2 (x)dx-2 ? Ак) f (x)Vtix)dx +
а к - I а
+ ? А\) V? (x)dx + 2 ЪА"А," ) V"' (jc) Vi,
(x)dx,
(6)
к = I а а
If' (*) Vi (jc) dx =f(x)Vi (х) Ь - ? f(x) Vk" (JC) dx
a a a
=/(*) Vi(x) I*-/ q(x)/(jc) Vk(x)dx + \kAk,
I a a
f Vi2 (*) dx = Vk (x) Vi (jc) Ь -f q(x)V\ (jc) dx + \k,
a a a
f Vi (jc) Vi, (jc) dx = V" (jc) Ojc) * - / 4 (*) V" (jc) Vm (x)dx.
175
Во всех этих равенствах лишь первые члены будут иметь различный вид для
фундаментальных функций различных классов, остальные же будут сохранять
всегда один и тот же вид. При помощи этих равенств приводим
(6) к следующему виду:
SW(f) = S f4x)dx-2f{x) ? AkV'k{x)\b + ? AlVk(x)VHx)\b
а к=I I a k = I la
+ 2 EA"Am Vn(x)V"(x)
b
a к
? ЬкА2к + f q(x) { 2 ? Akf(x)Vk(x)-
= I a I *= I
? A\V2k(x)-27:AnAmVn(x)Vm(x)\dx.
= i >
к
Заметив затем, что
[/(*)- ? AkVk(x)]2 = р2(х)= f2(x)-2 ? Akf(x)Vk(x) +
*=i *=i
+ ? A2kV2k(x) + 2ZAnAmVn(x)Vm(x),
*= I
получаем
Sn,)Cf) = Kn + f f'2(x)dx+ f q(x)(f2(x) - p2(x))dx - ? \kA2k. (7)
а а к = I
где положено
Kn = -2f(x) ? AkV,!(x)\b +
k~l *a
+ ? A2kVk{x)V'k{x)\b +2ZA"AmV"(x)V^(x)\b . (8)
Ac = I la la
Формулы (7) и (8) справедливы для фундаментальных функций какого угодно
класса.
4. Предположим, что Vk(x) суть фундаментальные функции первого класса,
определяемые предельными условиями
V'kФ) = aVk(a) + 0Vk(b), Vj(a) = yVk(a) - aVk(b).
Пользуясь этими равенствами, приводим выражение К" к виду
К"= 2а( ? A2kVk(a)Vk(b)+ ЪА"Ат Vm (a)V"{b) +
U= I
+ ZA"AmVm(b)V"(a)-f(b) ? AkVk(a) - f(a) ? AkVk(b)\ +
k=I *= I '
+ 0f? Ain(b) + 2ZA"AmVm(b)Vn(b)- 2f(b) ? AkVk(b)
'*=i *=i
AlVl(a) + 2i:AnAmVm(a)Vn(a)-2№ ? AkVk(a)\.
'*=¦ *=i )
176
Нетрудно видеть, что правая часть этого равенства может быть представлена
в виде
2а[)\а)~ 2 AkVk(a)\ [f(b)~ 2 AkVk(b)\ -
Ac = I Ac = 1
-2af(a)f(b)+0[f(b)- 2 AkVk(b)]2-
к = I
-7[/'(*)- 2 Л*К*(д)]2 ~Pf2(b)+yf2(a), к = 1
или, при ПОМОЩИ (3),
К" = 2арп(а)р"(Ь) - 2otJ(a)J\b)+ $р2п(Ь) - yp2(a)-Pf2(b)+yf2(a).
Таким образом, для фундаментальных функций первого класса равенство (7)
может быть преобразовано в такое:
^1)С0+ / <?(•*) Рп(х) dx + ур2п (а) - 0р2 (Ь) -
а
-2ар"(а)рп(Ь)= f f'2(x)dx + f q(x)f2(x)dx +
a a
+ yf2(a)-pf2(b)-2af(a)f(b)- 2 XkA2k. (9)
Ac = 1
5. Предположим теперь, что постоянные а, 0, у удовлетворяют условиям
(1) (п. 1), а функция ц (х) остается, как и р(х), неотрицательной в
промежутке [а, Ь].
В таком случае выражения
М2= f f'2(x)dx +
а
+ f q(x)/2(x)dx + yf2(a)-pf2(b)-2af(a)/(b), (10)
а
Nl=S,\l)(f) + f q(x)pl(x)dx +
a
+ yp2(a)-(Sp2n(b)- 2apn(a)pn(b) остаются всегда положительными, каковы бы
ни были функции f(x) и
П
рп(х). Все члены ряда 2 Х*/1* также неотрицательны, ибо при сделанных
Ас = 1
условиях все числа X* неотрицательны. Из равенства (9) сейчас же
вытекает, что при всяком л
2 X* Ак < М2,
Ас = 1
где М2 есть конечное число, независящее от п.
177
Следовательно, если постоянные а, 0, у удовлетворяют условиям 0< О, 7 >
0, а2 + 07< О,
(О
функции р(х) и q(x) обе остаются неотрицательными в промежутке 1а, Ь\, то
ряд
есть ряд всегда сходящийся, какова бы ни была функция f (х),
удовлетворяющая условию Коши.
6. Так как ряд (11) сходится, то
при п>п0,
т.е.
Отсюда, в силу неравенства (124) гл. V (п. 39),
\А" | < ~~ = о при п>п0.
То п п
Следовательно, если функция f(x) удовлетворяет условию Коши, то коэф
фициенты А" Фурье для фундаментальных функций Vk{x) первого класса при
