Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
условиях положительны, если у > 0, и, наконец, для фундаментальных
функций третьего предельного класса характеристические числа
положительны, если 0<О.
20. Предположим, что функция /(дс) удовлетворяет условиям
/(*) = /(/>) = 0, (46)
и применим формулы (7) и (8) (п. 3) к фундаментальным функциям первого
предельного класса. Получаем, в силу (45),
Si1} (Л = / f'2(*)dx + /q{x) (/2(x) - р\(дс)) dx - 2 \кА\,
а а к= I
т.е.
^')(Л+ S q(x)pj,(x)dx =
о
= ff'2(x)dx+ f q(x)f2(x)dx- 2 X*A\.
a a *= I
188
Отсюда следует, что для фундаментальных функций первого предельного
класса (при условии q(x) > 0)
X\kAl<M2,
k= I
где
M2 = I f'2(x)dx + / q(x)f2(x)dx a a
есть конечная положительная постоянная, не зависящая от п, коль скоро
функция f(x), подчиненная условию Коши, удовлетворяет равенствам (46).
Заметив, что формула (461) получается из (9), если положить в последней а
= 0 = у = 0, легко понять, что все рассуждения пп. 4-13 применяются с
соответствующими упрощениями и к рассматриваемому случаю и приводят к
следующему заключению:
Для всякой полной системы фундаментальных функций первого предельного
класса имеет место неравенство вида
S"V)<N3ln2, (47)
где N2 есть положительная, не зависящая от п постоянная, коль скоро
функция f(x) удовлетворяет неравенству Коши и условиям (46).
21. Для фундаментальных функций второго предельного класса, подчиненных
условиям (15) гл. VI,
Vk(b) = 0, Vi(a) = yVk(a), равенства (7) и (8) дают
Sin(f)+ / Я(х)Pl(x)dx + ур2"(а) =
а
= ff'2(x)dx+ / q(jc)f2(jc)dx + yf2(a)- Z \kA2k, a a k= I
если предположить, что
m = 0. (48)
Предыдущее равенство отличается от (9) п. 4 лишь отсутствием
членов,
зависящих от постоянных множителей а и р.
Прц условии
Т>0, q(x)>0 (49)
оно приводит к неравенству
? \kA2k<M2, (50)
*= I
где
М2 = f f'2(x)dx + / q(x)f2(x)dx+yf2(a) (50,)
а а
есть конечная положительная постоянная, не зависящая от л.
189
Все дальнейшие рассуждения пп. 4-13, очевидно, приложимы и к
рассматриваемому теперь случаю и приводят к следующему результату:
Если в предельных условиях, характеризующих фундаментальные функции
второго предельного класса, постоянная у неотрицательна и q(x)>0,TO
Sn(f)<N3ln2, (47)
какова бы ни была функция Дх), удовлетворяющая условию Коши и равенству
(48).
22. Наконец, в случае фундаментальных функций третьего предельного
класса, подчиненных условиям (16) гл. VI
И*(я) = 0, Vl(b) = pVk(b),
из (7) и (8) выводим
](f) + / q(x)p2"(x)dx - рр2(Ь) =
а
= / f'2(x)dx + / q(x)f2(x)dx - Pf2(b) - ? \kA2k, (502)
a a k = 1
если предположить, что
Да) = 0. (51)
Отсюда следует, что если
0<О, q(x)>0, (52)
то
? Х*Л|<Л/2,
*= I
где
М2 = f f'2(x)dx + f q(x)f2(x)dx - pf2(b) a a
есть конечная положительная постоянная, не зависящая от л.
Все рассуждения пп. 4 -13 также приложимы и к рассматриваемому случаю и
приводят к следующему результату:
Если в предельных условиях, характеризующих фундаментальные функции
третьего предельного класса, постоянная /3 неположительна и q(x)>0,m
S"<f)<N3ln2, (47)
какова бы ни была функция Дх), удовлетворяющая условию Коши и равенству
(51).
23. При помощи неравенства (47), заметим между прочим, легко выводится
приемами, аналогичными изложенному в пп. 15 - 18, следующая теорема:
Всякая полная система фундаментальных функций каждого из трех предельных
классов, характеристические числа которых положительны, есть система
абсолютно замкнутая.
190
Теорема эта является, очевидно, частным случаем общей теоремы, доказанной
иным приемом в предыдущей главе.
24. Будем теперь рассматривать совместно такие полные системы
фундаментальных функций пяти различных классов, все характеристические
числа которых неотрицательны, т.е. будем всегда предполагать, что
р(х)>0, </(х)>0
и что постоянные а, 0, у, р, г для каждого из пяти рассматриваемых
классов удовлетворяют соответственно услоьиям (1) и (2) п. 1.
Под функцией Дх) будем подразумевать функцию, удовлетворяющую условию
Коши во всех пяти случаях и соответственно предельному условию (31), если
речь идет о фундаментальных функциях второго класса, условиям (46), когда
речь идет о фундаментальных функциях первого предельного класса, условию
(48) для фундаментальных функций второго и условию (51) для функций
третьего предельного класса.
Для всякой такой системы фундаментальных функций и соответствующей
функции Дх), подчиненной только что указанным условиям, ряд
оо
2 X* 1/1*1 будет сходящимся, причем при всяком п
k = I
2 \кА2к<М2, (53)
к= I
а квадратичная погрешность S"(J) будет удовлетворять одному и тому же
неравенству вида
S"(f)<N2ln2. (54)
Кроме того, из формул (9), (28) и (29), (46|), (47,) и (502) будет
следовать, что во всех рассматриваемых случаях
S^[f)<M2. (55)
25. Воспользуемся снова тождеством (36) п. 11 гл. IX, которое дает
РпШ < Р"(*) + 2 V / p2"(x)dx у/ / p'2(x)dx \ (56)
S (
Предположим, что функция р(х), оставаясь неотрицательной в [а, Ь\
обращается в нуль в некотором числе m точек а,, а2, ..., а".
