Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
соблюдении условий предыдущей теоремы убывают с возрастанием их значка
пне медленнее, чем 1/я, т.е. при бесконечно большом п суть бесконечно
малые порядка не ниже, чем 1/л.
7. Выведем теперь одно неравенство, необходимое для дальнейшего.
Обозначим через х,у\ ?, т) четыре переменные аргумента. Нетрудно
убедиться непосредственным вычислением в справедливости следующего
тождества:
при всяких вещественных значениях аргументов х,у, % и 17.
8. Применим метод Шварца - Пуанкаре к определению функции V(x, X),
удовлетворяющей уравнению
? XkA2k, Ak = f p(x)f(x)Vk(x)dx,
(П)
[ ух% - Pyv - ot(y? + XT))]2 - [ух2 - Ру2 - 2axy] X X [7S2 -рт)2 - 2a?i?]
= (a2 + Py) (y? - xpf.
Отсюда следует, что при соблюдении условий (1) (п. 1) [ух$-Рут)-
а(у$+хт))]2 <
<[7*2 -Ру2 -2аху] [у%2 -Рп2 -2оф?]
(12)
У"(х, Х)+ [Хр(х)-</(х)] У(х, Х) + р(х)р"(х) = 0
(13)
и предельным условиям
У'(д)-аУ(а)-рУ(б) = 0, У'(а)-уУ(а) + аУ(б) = 0.
(13.)
Полагая
У(х, X) = v0(x) + \Vi(x) + ... + \kvk(x) + ...,
178
(13а)
получим следующие уравнения для определения v0(x):
v'o'(x) - q (дс) v0(x) + p (дс) p" (дс) = О, (14)
v'o(b) -av0(a) - /3v0(b) = 0, v'0(a)-yvo(a) + avo(b) = 0 (ср. гл. V, n.
11).
Основываясь на исследованиях гл. V и VI, можем утверждать, что, каковы бы
ни были данные функции р(х) и q(x) и конечные постоянные а, /3, у,
существует единственная определенная функция и0(*)> удовлетворяющая
уравнению (14) и предельным условиям (15).
Заметив, что, в силу уравнения (14),
/ Uo2(x)c/x = v0(x)vo(x)
- f q(x)vl(x)dx + / p(x)v0(x)pn(x)dx.
получим, приняв в расчет (15),
/ Vo (х) dx + yvl(а) - 0vl(b) - 2otv0(a) v0(b) +
a
b ¦> b + I d(x)vl(x)dx = / p(x)v0(x)p"(x)dx. (16,)
a a
Так как a, /3 и у удовлетворяют неравенствам (1), а функция q(x)
предполагается неотрицательной, то левая часть этого равенства
положительна. Поэтому, воспользовавшись неравенством Буняковского, можем
писать
/ г J,2 (х) dx + yvl (а) - /3 vl(b) - 2ar0(a) v0(b) +
a
+ f q(x)vl(x)dx < \/~W? VSn(f)\ (17)
a
где
Sr. (/) = , = / p(x) pi (дс) dx,
a
w0 = f P(x)vl(x)dx a
суть два первых интеграла Шварца.
9. Преобразуем теперь интеграл Sn(f) при помощи уравнения (14)
следующим образом:
Sh(f)= / Р(х) Рп Ос) dx = / Р"(х) ["(*) v0(x) - ио(дс)]<*с =
п а
= -Pn(x)v'o(x) Ь + f v'o(x)Pn(x)dx + f q(x)v0(x)p"(x)dx, (18)
a a a
что возможно в предположении, что функция /(дс), а следовательно и
р"(дс),
179
удовлетворяет условию Коши. Отсюда, приняв в расчет (15), получаем S"(f)=
/ v'o(x) p'"(x)dx +
а
+ / q(x) и0(*) P"(x) dx + yv0(a) pn(a) -
a
-Pvo(b)pn(b)-a[vo(a)pn(b) + v0(b)pn(a)]. (18,)
Воспользуемся неравенством (12), положив в нем X = v0(a), У = Vo(b),
$ = Ри("), Ч = Рл (ДО-
ПОЛУЧИМ
Н2" = (уи0(а) рп (а) - I3v0(b) рп (Ь) - а[и0(") р" (Ь) +
+ v0(b) рп (я)])2 < [-yuoOO - Pvl(b) - 2av0(a) и0(Д>)] X
х [ТР" 00 - Рр1, (Ь) - 2арп (а) рп (Д>)]. (19)
С другой стороны, так как интеграл правой части равенства (18,) есть
предел суммы
2 {v'o(хк)р"(хк) + v0(хк)Vq(хк)'р"(хк) \ПЦх~кУ}Дхк,
то, применив к этой сумме неравенство Коши*) и перейдя затем к пределу,
получим
G,2, = (/ v'0(x) p'n(x) dx + / q(x)vQ(x)p"(x)dx )2 <
а а
< ( / v'o(x)dx+ / q(x)vl(x)dx) X
а а
Х( / p'?{x)dx + / q(x)p2"(x)dx). (20)
а а
Положим
А = yv\(a) -Qvl(b) - 2av0(a) v0(b),
A i = f v'o(x)dx + / q(x) vl(x) dx,
a a
B = yp2n{a)~0p2(b) - 2apn(a)p"(b),
Bi = f p'"2(x)dx+ i q(x)p2"(x)dx.
a a
Все эти величины при сделанных предположениях относительно а, 0, у и q
(х), очевидно, неотрицательны.
Из равенства (18,) при помощи неравенств (19) и (20) выводим
S2"(f)< (\ЛГ у/Т + \/ТГ уГЩ )2,
*) Неравенство (23) гл. I, п. 5.
180
а отсюда при помощи неравенства Коши
5?,(/)<И + Л,)(В + В,) = {yv*o(a)-0vl(b)-2avo(a)vo(b) +
+ f Vo2 (x) dx + / q(x)vl(x)dx) {yp2 (a) - /3p2" (b) - 2ap" (a) p" (b) +
a a
+ / p'n (*)^ + /Я(*)Pn(*)<**) ¦ (21)
a a
10. Обращаемся теперь к равенству (9) п. 4. Приняв в расчет обозначения
(10), выводим из него
N2 < М2. (22)
С другой стороны, неравенство (21) при помощи (17) доставляет
S2n{f)<Nl s/HZ
откуда на основании (22) следует, что Sl(f)<M2 \fS" (/)',
или
VW , \fwZ 5"ю<м <22|)
Это существенно важное для теории неравенство имеет место для всякой
данной функции Дх), удовлетворяющей неравенству Коши, и для всякой полной
системы фундаментальных функций, принадлежащей к той их группе, которая
характеризуется следующими условиями: постоянные а, /3, у предельных
условий первого класса удовлетворяют неравенствам
/3<0, у>0, а2 + /3у<0, (11)
а функции р(х) и q(x) основного дифференциального уравнения всех
фундаментальных функций
№)+[**р(*)-</(*)] М*) = 0
обе неотрицательны в промежутке [а, Ь].
11. Возвращаемся к уравнению (13) (п. 8). Мы знаем, что интеграл этого
уравнения есть голоморфная функция параметра X внутри круга радиуса
р= lim (VTi?I7 IVW),
где Wk суть интегралы Шварца, соответствующие функции
р(х)р"(х) (23)
уравнения (13), которые удовлетворяют неравенствам
v^T ^ \fw? ^ .
(гл. V, п. 23, и неравенства (43) п. 14). Отсюда р = lim -------------
