Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
изложенное в гл. III и IV, мы можем формулировать это подразделение
следующим образом.
К первому типу относятся задачи, когда требуется определить неизвестную
функцию U от двух переменных г их, удовлетворяющую при всех положительных
значениях t (время) и значениях х, заключенных в данном промежутке [а,
Ь\, дифференциальному уравнению
bU d2U
р(х) - = -- -q(x)U, (А)
Ъг дх1
203
начальному условию
и\,= о = № (1)
и предельным условиям двух следующих классов: bU(b, t)
дх dU(a, Ь) дх
- aU(а, т) - 0P(b, t) = О,
(а)
-7U(a, t) + aU(b, 0 = 0,
или
U(b, t) = pU(a, 0, dU(b, 0 1 ЭU(a, О
-- -- - =-------:-- + Щв. о,
дх р дх
где а, 0, 7, р, т суть постоянные, которые в предельных случаях могут
обращаться в нуль или в бесконечность. По самому физическому смыслу задач
нужно при этом допустить, что эти постоянные в условиях (а) удовлетворяют
неравенствам
0<О, 7>0, а2 +07<О. (2)
причем знаку равенства в одном из первых двух из зтих соотношений должен
соответствовать знак равенства в третьем, а в условиях (Ь) - неравенству
рт<0. (2i)
Что же касается функций р(х) и q(x) в уравнении (А), то они должны быть
положительными и неопределенными в промежутке \а, Ь\.
В этой общей задаче заключаются все различные физические задачи,
относящиеся к теории теплоты, т.е. задачи, в которых изучаются законы
тепловых явлений в телах линейных измерений.
2. Ко второму типу задач относятся задачи, когда искомая функция U от
тех же переменных t их удовлетворяет уравнению
d2U d2U
р(х) IF'IF-ф)и- (В)
следующим начальным условиям:
Э U
dt
= /.(*) (3)
г = о
и предельным условиям того же самого вида (а) или (Ь), что и в предыдущем
случае, и при тех же самых предположениях относительно постоянных а,Р,
у,р,т ифункцийр(х)и</(дг).
К этому типу принадлежат различные задачи теории звука (упругости),
света, электричества и магнетизма.
3. Наконец, к третьему типу можно отнести всевозможные задачи о так
называемых установившихся процессах.
204
При этом определение неизвестной функции, не зависящей от времени t,
приводится к интегрированию обыкновенного линейного уравнения вида
Ъги(х)
-q(x)U(x) = 0.
dx2
Начальные условия при этом сами собой отпадают, а предельные условия
(а) и (Ь) заменяются некоторыми другими. Самый общий вид зтих условий
получится, если в правых частях равенств (а) и (Ь) заменим нули заданными
постоянными, а функцию U(x, t) двух переменных t их - функцией U(x),
зависящей только от х.
Очевидно, что задачи зтого типа (об установившихся процессах) для тел
линейных размеров особого интереса не представляют и разрешаются весьма
просто на основании начал общей теории интегрирования обыкновенных
линейных уравнений, почему мы на них и не будем останавливаться.
4. Рассмотрим задачу первого типа.
В п. 12 и 13 гл. IV был уже указан общий прием ее решения. Все дело
сводится к определению фундаментальных функций Vk (х) и
характеристических чисел X*. Коль скоро последние найдены, то искомое
решение представится формулой (23) п. 13 гл. IV, если выберем постоянные
Ак так, чтобы имело место разложение (24) п. 14 той же главы.
Существование характеристических чисел \к и им соответствующих
фундаментальных функций и общие приемы их определения установлены
исследованиями гл. V - VIII.
Вопрос о возможности разложения вида (24) разрешен в гл. IX и X, причем
нужно предположить, что заданная функция f(x) удовлетворяет условиям
теоремы п. 30 гл. X, каковые будем предполагать выполненными.
Задача будет решена во всех случаях, когда мы докажем, что ряд
U(t, х) = ? Аке~хк* Vk(x), (4)
* = 1
где теперь должны положить
Л к = S P(x)f(x) Vk (jc) dx, a
и ряды, которые получаются из него почленным дифференцированием один раз
по переменной t и дважды по переменной jc, сходятся равномерно при всех
положительных. значениях t и при всех значениях jc, принадлежащих
промежутку [а, Ь].
Действительно, коль скоро это будет доказано, то на основании известной
теоремы будем иметь
dU(x,t) ~
------- =- 2 Ак\ке'^г Vk(x), (5)
dt fc=i
bU(x,t) ~ x dVk(x)
---------= 2 Ak e-*** , (6)
ox к = i 9jc
3 2U(x,t) ~ . b2Vk(x)
= ? Ak е-Хкг (7)
OX k= I OX
205
Так как уравнение (В) по физическому смыслу задачи должно удовлетворяться
для всех значений х в промежутке [а, 6] и лишь для значений t больших
нуля, то сходимость рядов (5), (6) и (7) достаточно установить только для
/> 0. Так как рассматриваемые ряды построены именно так, что они
формально удовлетворяют и уравнению (А), и условиям (а) или
(Ь), то они будут удовлетворять действительно (а не только формально)
всем этим уравнениям, коль скоро их равномерная сходимость будет
установлена, и поэтому функция U(x,t), определяемая рядом (4), представит
действительное решение задачи.
5. Так как данная функция /(jc) предполагается удовлетворяющей условиям
теоремы п. 30 гл. X. то ряд
(/(х,0)= ? AkVk{x)
к - 1
на основании этой теоремы сходится в промежутке [а, b ] не только
равномерно, но и абсолютно, к какому бы классу ни принадлежали функции
