Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
а а
и приняв в расчет (32), получаем
V'ii'o'
Ж (33)
- неравенство того же вида, как и для фундаментальных функций первого
класса (неравенство (221) п. 10).
Из этого неравенства, повторив дословно рассуждения п. 10, выводим
следующее:
М2 N2
5,СП< - -Г . 04)
ТоП п
где N2 есть число, независящее от п. Отсюда заключаем, что любая полная
система фундаментальных функций второго класса рассматриваемой нами
группы *) замкнута по отношению ко всякой функции Дх), имеющей первую
производную, интегрируемую в данном промежутке [а, Ь\, и удовлетворяющей
условию (31).
15. Легко освободиться от этого последнего ограничения. Пусть /(х) есть
какая угодно функция с интегрируемой в промежутке [а, Ь] первой
производной, но не удовлетворяющая условию (31). Возьмем полином
F(x) - а(х - а)2, (35)
где а есть некоторая постоянная. Определим а при помощи условия
F(a + е) = Да + е),
где е есть некоторое наперед заданное положительное число. Получаем
ае2 = f(a+e), (36)
причем для значений дг в промежутке от а до а + е будем иметь
шах lF(x)| < | а I е2 < Af0. (36,)
где под М можем подразумевать шах I Дх) I в промежутке [а,Ь].
Точно так же, взяв полином
Fl(x) = al(b -xf (37)
и определив постоянную а, из условия F, (b - е) = f(b - е), получим
<*i e2 = f(b-e), (37,)
*) Коша р(х) > 0, р(х) * 0, q(дг) >0, рт < 0.
185
причем для промежутка от ft; - е до ft будем иметь
max lFi(x) | < | а, 1е2 < Л/0. (372)
Составим теперь функцию i/>(x), подчинив ее следующим условиям: i/>(x) =
F(x) при а < х < а + е,
<р(х)=/(х) при a + e<x<ft-e, (38)
ifi(x) = Ft(x) при ft-e<x<ft.
Функция i/>(x), очевидно, удовлетворяет условию
<р(Ь) - /нр(а) = 0, (39)
ибо
*(")-*(*)-О, (39.)
непрерывна и имеет интегрируемую в промежутке [а, Ь\ первую произ-
водную.
16. Так как функция ^(х), определяемая условиями (38), удовлетворяет
уравнению (39), то, как указано в предыдущем пункте,
М2
-тт , (40)
rln1
где, на основании (301) и (391),
М2 = / i/2 (х) с/х + f q{x)\p2{x)dx. а а
Приняв в расчет (38), получаем
/ <p'2(x)dx = / F'2(x)c/x + а а
+ Vе f'\x)dx+ ! F[2{x)dx. а+е 6-е
Так как
F '(х) = 2а(х - a). F,'(x) =- 2a, (ft- х), то, в силу (36,) и (372),
4а2 е4 4Л/о ,, 4а, е4
F'2(x)< -j- < ~~ , F,'2(x)<
е* е* е2 е2
в+е 6 8Л/о
/ F2 (х) с/х + / F,2 (х) с/х < ----------- .
а b-с €
Обозначив через Л/, шах модуля /'(х) в промежутке [а, Ь\, получим
* " 8Л/о
/ \р 2 (х) с/х < ------ + Л/2 (ft - а).
a 6
186
Следовательно,
е
ибо li(x) | <Л/0 в промежутке [а, Ь\. Таким образом, можем написать
где А2 и В2 - две конечные положительные постоянные, и, в силу (40),
17. Применяем теперь неравенство (27) п. 9 предыдущей главы к
рассматриваемому случаю. Имеем, в силу (36j), (372) и (38),
Это неравенство имеет место при всяком п и при произвольно заданном е .
Положив е = 1 /и, получим
где К2 есть положительная постоянная, не зависящая от п.
Это неравенство показывает, что рассматриваемые нами фундаментальные
функции второго класса образуют замкнутую систему по отношению ко всякой
функции f(x), имеющей интегрируемую производную в промежутке [а, Ь].
Отсюда, так же как и в п. 12, выводим следующую теорему: Всякая полная
система фундаментальных функций второго класса в случае, когда функции
р(х) и q(x) и числа ри т удовлетворяют условиям
р(х)>0, q(x)>0 в промежутке (а, b ], (44)
рт<0,
есть система абсолютно замкнутая.
18. Полученный результат не представляет ничего нового и является
частным случаем общей теоремы, доказанной в предыдущей главе. Но
неравенства (43) и в особенности (34), которые в рассматриваемом случае
приводят к только что указанной теореме, не могут быть выведены из общих
исследований предыдущей главы.
е
А2 В2
(41)
/ Р(х) (№ - $(х))2 dx < 4М2Р0е.
(42)
а
Из неравенства (27) следует, что
5"(/)<25"М + 2 f р(х) (/(*)-ф) fdx,
а
а отсюда, при помощи (41) и (42),
5П(Л< --------- + 8Л/йЛ,е +
2А2 , 1В2
mQM*D ~ х. _______
(43)
Именно, имея в виду установить неравенство (34), мы и изложили особый
прием доказательства теоремы предыдущего пункта. Важное значение этого
неравенства выяснится в последующих пунктах.
19. Рассмотрим, наконец, фундаментальные функции трех предельных классов,
соответствующие функциям р($) и q(х), подчиненным условиям (44).
Очевидно, что для фундаментальных функций первого предельного класса,
удовлетворяющих условиям
к* (<0 = 0, к* (/0 = 0 (45)
(см. равенства (14) п. 6 гл. VI, условие
Vk(x)Vi(х)\Ь <0
1 а
(см. п. 16 гл. IV) всегда соблюдается. Следовательно, все
характеристические числа X* этих функций при выполнении условий (44)
положительны.
Для фундаментальных функций второго и третьего предельных классов в силу
(15) и (16) гл. VI, п. 6, получаем
Vk{x)Vl(x)\bg=~7Vl(a)< 0,
если у > 0, и
Vk{x)VUx)\b =PVl(b)< 0,
' й
если 0 < 0. Поэтому все характеристические числа фундаментальных функций
первого предельного класса при соблюдении условий (44) всегда
положительны.
Характеристические числа функций второго предельного класса при тех же
