Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
значений функций/(х) и/'(дг) и не зависят от п.
При помощи (45), (46), (47) и (48) выводим из (44) следующее неравенство:
Si'> (Л< 2 Ро y/SFTn + G S" (/) + а] р1 (а) +
+ 01 Р?, (6)+ 7i , (49)
где
<*i = I 7 I + I <* I + ~*> 01 =l0l + lal+j,
i\ = ^{[af(a)+Pf(b)]2 + [7/(а)-а/(6)]2} суть, очевидно, постоянные, не
зависящие от п.
169
14. Обращаемся снова к неравенству (36() (п. 11). Полагая в нем 1- - а
и %-Ь, получаем
Рп (")<"! (Л+ 01 y/S" (/'Т,
P2"(b)<a22S"(f) + 022 y/Sj77 , (49|>
где положено для простоты а\ = 1 /Q2 , 01 = 2 СД/рЦ1. При помощи
нера-
венств преобразуем (49) к виду
(/) < 2 ро s/sFW) + "з 5" (/) +.02э \/^ТГ) + г? ,
где
а23 = G' + а? "1 + 0? "1 , 0з =// + а? 01 + 01 01
- конечные постоянные, не зависящие от п.
Так как, наконец, при всяком л
С/) < SP (*)/2 (*) dx = L2, (492)
а
то окончательно
5<1>(/)<2р0\/ЙТТ(7) + а1 , (50)
где а о =7? +al L2 +0з L есть конечное положительное число, не
завися-
щее от п.
Неравенство (50) показывает, что у/S*,1 Xf) должно заключаться между
нулем и положительным корнем уравнения х2 - 2р0х - aj = 0, т.е.
VSSf)('/j'<Po +\^о+(r)о . или
S^CCKC2. (51)
Итак, для фундаментальных функций первого класса квадратичная погрешность
производного ряда удовлетворяет требованиям теоремы п. 11 (неравенство
(38)), коль скоро функция f (х) удовлетворяет условию Коши (37).
15. Переходим к фундаментальным функциям второго класса. Равенства
(40) и (42) справедливы для какой угодно системы фундаментальных функций
V/с (х). Так как для функций второго класса
У к (Ь) = р Vk {a), 1Y (Ь) = - Vi (а) + т Vk (а), (52)
Р
то будем иметь при помощи таких же преобразований, как и в п. 12,
Рп(Ь)
р
-p"(fl)| 2 Ak Vi(a) + Tpn(b) 2 AkVk(a) = J *=I k- I
= [ - Pn (") ](/'(")- Pn(")) + rp"(0) I f(a) - p"(a) j. (53)
170
Но, в силу (39), f(b)= 2 AkVk{b)±p"{b),
к = I
1'W = , А* Vk (Д) + Рп (Д)-
откуда при помощи первого из равенств (52) выводим р" (6) - р р" (д)
=/'(*) - Pfifl).
Допустим, что функция f(x) удовлетворяет условию fib) - pf(a) = 0.
При этом р"(Ь) - рр"(а) = 0 и, следовательно, К" = т/(а)рп(Ь) -
-тр"(Ь)р"(а), т.е.
| К" | < pi (д) + 0] pj, (Ь) + , (54)
|т I |г|
где, очевидно, о? = -, (3, =| т| , у, = -/ (д) суть конечные постоянные,
не зависящие от л.
При помощи этого неравенства и неравенств (46), (47) и (48), которые,
очевидно, справедливы для любой системы фундаментальных функций Vk (х),
получим и для фундаментальных функций второго класса то же самое
неравенство (49) (п. 13). Из этого неравенства, повторяя дословно
рассуждения п. 14 получим неравенство (51).
Следовательно, для фундаментальных функций второго класса квадратичная
погрешность производного ряда выполняет требование теоремы п. 11 если
только функция f (х)удовлетворяет неравенству Коши и предельному условию
вида
f(b) - pf(o)= 0. (54)
16. Остается рассмотреть случаи фундаментальных функций трех предельных
классов (п.6 гл. VI ) , к которым предыдущий анализ непосредственно не
применяется, ибо предполагает постоянные а,0,у,р и г конечными и р
отличным от нуля.
Пусть Vk (jc) суть фундаментальные функции первого предельного класса,
подчиненные условиям (равенства (14) п. 6 гл. VI)
1И*) = 0, Г*(Ь) = 0. (55)
Допустим, что функция/(jc), удовлетворяющая неравенству Коши, подчинена
условиям /(д) = 0, / (b) =0. В этом случае, в силу (39) и (55), Рп (fl) =
Р" (6) = 0. Равенство (40) принимает следующий простой вид:
Sn ° (/') = f f (х)р'п (x)dx + f q (jc) p" (jc) {f (jc) - p" (x))dx,
a a
откуда при помощи (46), (47), (48) и (49) выводим
S<1"(Л < 2р sls^(f) + GS"(f)+Hyfs7(7) < 2р0 v/5j*>(7) + о20, <56>
гдео| =GL2 +HL.
171
Неравенство (56) показывает, что для фундаментальных функций первого
предельного класса квадратичная погрешность производного ряда выполняет
требование теоремы п. 11, если только функция }'(х) удовлетворяет
неравенству Коши и предельным условиям вида
17. В случае фундаментальных функций второго предельного класса,
удовлетворяющих предельным условиям
(равенства (15) п.6 гл. VI ), предположим, что/(6) = 0. При этом условии,
как показывают равенства (39) и второе из (58), р" (Ь) = 0 и, в силу
первого из (58) и (43),
-К" = ур" (в) ? Ak V 'k (я) = ур" (я) |/(") - Рп (я)],
Отсюда, как и в предыдущих случаях, заключаем, что для фундаментальных
функций второго предельного класса квадратичная погрешность производного
ряда удовлетворяет требованиям теоремы п. 11 (неравенства (38) ), если
только функция f(x) удовлетворяет неравенству Коши и предельному условию
вида / (Ъ) = 0.
18. Фундаментальные функции третьего предельного класса определяются
предельными условиями (равенства (16) п.6 гл. VI )
которые получаются из (58) заменой буквы у через 0, буквы я буквой b и
наоборот. Поэтому стоит только во всех формулах предыдущего пункта
сделать указанную замену букв, чтобы получить соответствующие формулы,
относящиеся к фундаментальным функциям третьего предельного класса. При
этом в конечном итоге получится, очевидно, такой результат: если функция
