Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
/(х), удовлетворяющая неравенству Коши, подчиняется еще предельному
условию
/(я)=/(Ь) = 0.
(57)
У/С (я) -У У к (я), Vk(b) = 0
(58)
1^и I 4" 1т1 Ри (я)+ I 7Ри(я)/(я) I < р2(я)+ ~ /'(я).
Отсюда при помощи первого из (491) выводим
¦\Кя\<е& S"(O + 0S\^T(n + 7S . Так как, в силу (40), (42) й (432),
(59)
?"(1 V) - / /' (х)р' (x)dx q (х)р" (лг) (f (х) -рп {x))dx - К",
а
а
то, на основании (46), (47), (48) и (492),
(60)
K(b) = PVk(b). Vk (а) = 0,
172
Таким образом, убеждаемся, что и для фундаментальных функций третьего
предельного класса квадратичная погрешность производного ряда
удовлетворяет требованиям теоремы п. 11 (неравенства (38)), если только
функция /(лг), удовлетворяющая неравенству Коши, подчиняется еще условию
f(a) = 0.
19. Результаты установленные в пп. 13, 14,15,16 и 17, приводят в связи
с общей теоремой п.11 к следующим теоремам:
1. Всякая функция f(x), удовлетворяющая неравенству (37) Коши,
разлагается во всем промежутке [ах ft] в равномерно сходящийся ряд
f(x)= 2 Ak Vk (лг), Ak = f р (x)f(x) Vk(x)dx, (61)
k = I a
no фундаментальным функциям- Vk (x) первого класса.
2. Всякая функция /(лг), удовлетворяющая неравенству Коши, и предельному
условию
f(b)-pf(a) = 0,
разлагается во всем промежутке [а,Ь] в равномерно сходящийся ряд вида
(61) по фундаментальным функциям Vk (лг) второго класса.
3. Всякая функция /(лг), удовлетворяющая неравенству Коши и предельным
условиям
/(в) =/(*>) = 0,
разлагается во всем промежутке \а,Ь\ в равномерно сходящийся ряд вида
(61) по фундаментальным функциям Vk(x) первого предельного класса.
4. Всякая функция fix), подчиненная неравенству Коши и предельному
условию
/(*0 = 0,
разлагается во всем промежутке [а, 6] в равномерно сходящийся ряд вида
(61) по фундаментальным функциям Vk (лг) второго предельного класса.
5. Всякая функция / (лг), удовлетворяющая неравенству Коши и предельному
условию
/00 = 0,
разлагается во всем промежутке [а, Ь\ в равномерно сходящийся ряд вида
(61) по фундаментальным функциям третьего предельного класса.
Все эти теоремы справедливы, каковы бы ни были конечные постоянные а, 0,
у up, те предельных условиях, которым удовлетворяют фундаментальные
функции первого и второго классов (причем рФО), и каковы бы ни были
функции р (лг) и q (лг), подчиненные следующим условиям: р (лг) и q (х)
непрерывны в промежутке [а,Ь\ и первая из них остается полояси-тельной в
точках этого промежутка.
ГЛАВА X
Исследование случая, когда все характеристические числа фундаментальных
функций положительны.
"в 2
Доказательство сходимости ряда ? А* А?.
к - 1
Высший предел для модулей коэффициентов ряда Фурье Ак.
Высший предел для квадратичной погрешности ряда, составленного по закону
Фурье из фундаментальных функций.
Абсолютная замкнутость всякой полной системы фундаментальных функций,
характеристические числа которых положительны.
Вывод теорем о разложении произвольных функций в равномерно сходящиеся
ряды типа Фурье, расположенные по фундаментальным функциям.
Высший предел остаточного члена этих разложений, когда положительная
характеристическая функция р (х) не обращается в нуль в данном
промежутке; обобщение на случай, когда функция р (х) имеет конечное число
нулей в этом промежутке. Распространение теорем о разложении на случай,
когда непрерывная функция р(х) не отрицательна
1. Исследованиями предыдущей главы вопрос о разложении произвольных
функций в ряды по фундаментальным функциям разрешен с достаточной
общностью для каких угодно ортогональных фундаментальных функций. Задача,
взятая в таком общем виде, представляет по преимуществу интерес чисто
аналитический, в вопросах же математической физики приходится иметь дело
исключительно с фундаментальными функциями, все характеристические числа
которых неотрицательны, как это изложено в конце гл. IV. Это
обстоятельство несомненно будет иметь место, как показано в той же гл.
IV, если постоянные а, 0, у для функций первого класса удовлетворяют
условиям
0 < 0, 7 > 0, а2 + 0 у < 0, (1)
а постоянные ри т для функций второго класса - условию
рт< 0 (2)
(условия (14|) и (15) пп.9 и 10 гл. IV), а функция p(x)nq(x) того
дифференциального уравнения, которому удовлетворяют все фундаментальные
функции, обе остаются неотрицательными в данном промежутке [а,Ь]. Все эти
условия, как мы видели в гл. IV, действительно соблюдаются во всех
главнейших задачах математической физики.
Само собой разумеется, что общие результаты предыдущей главы сейчас же
распространяются и на только что упомянутые частные случаи, однако для
этих последних можно указать другой метод решения вопроса, который
приводит к новым и важным следствиям, которые не вытекают из предыдущих
соображений более общего характера.
Изложению этого второго метода, специально применимого к условиям (1) и
(2) и представляющего интерес йе только для математической физики, но и с
точки зрения чистого анализа, мы и посвятим настоящую главу.
174
2. Будем предполагать, как и в предыдущей главе, что функция /(*)
