Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 79

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 159 >> Следующая

(Петроград, 1917). В этих исследованиях рассматриваются особого рода
частные решения дифференциальных линейных уравнений какого угодно
порядка, коэффициенты которых зависят от некоторого параметра. Для случая
уравнений второго порядка, при соблюдении условий ортогональности и при
некоторых других частных предположениях, эти решения обращаются в
фундаментальные функции Vk (х) рассматриваемые в настоящем сочинении.
Задача (В) решается в общем виде, причем получаются разложения, вообще
говоря, отличные от разложений типа Фурье, которые могут совпадать с
последними лишь при выполнении только что упомянутых дополнительных
ограничений. В частном случае дифференциальных уравнений второго порядка
получаются при этом результаты, аналогичные тем, которые даны мною в
статьях, указанных в конце п. 35.
38. Таким образом, изыскания, основанные на идеях, отличаются весьма
большой общностью, вводя в круг исследований такие вопросы, которые не
поддаются решению при помощи методов, изложенных в настоящем сочинении.
Но если ограничиться конкретным случаем рассматриваемых нами
ортогональных фундаментальных функций Vk(x), то методы, употребленные
нами, окажутся более выгодными во многих отношениях.
Во-первых, анализ представляется несравненно более простым, не требующих
тех сложных рассуждений весьма общего характера, которые в применении к
рассматриваемому нами конкретному случаю не дают ничего нового.
Во-вторых, наш анализ при всей своей простоте приводит к результатам в
некоторых отношениях более общим, которые не могут быть получены при
помощи методов, основанных на идеях Коши - Пуанкаре.
Благодаря неизбежному для этих методов употреблению асимптотических
выражений функций Vk(x) приходится рассматривать лишь ограниченный класс
этих функций, характеристическая функция которых р(х) остается
положительной, не обращаясь в нуль ни в одной из точек данного
промежутка, и притом допускает непрерывные производные двух первых
порядков.
По крайней мере, известные в настоящее время приемы вывода
соответствующих асимптотических выражений для функций Vk(x) справедливы
лишь при соблюдении только что указанных ограничений относительно функции
р(х).
Предложенные нами методы не нуждаются в выводе асимптотических выражений
для функций Vk{x), который и сам по себе представляется довольно сложным,
распространяются на все случаи, когда функция р(х) остается положительной
и только непрерывной в данном промежутке, а для случая фундаментальных
функций с заведомо неотрицательными характеристическими числами требуется
лишь, чтобы функция р(х) была непрерывна и неотрицательна.
Все эти случаи в силу сказанного выше исключаются из рассмотрения при
употреблении методов Коши - Пуанкаре, а эти-то случаи и представляют
наибольший интерес в приложениях к математической физике.
Наконец, в-третьих, предложенный нами метод, основанный исключительно на
теории замкнутости, не только доказывает возможность самого
202
разложения данной функции по функциям Vk (х), но во многих случаях дает
возможность определить размеры погрешности, которая совершается при этом
разложении, если остановить его на каком-нибудь п-м члене, чего опять-
таки не дает метод Коши - Пуанкаре.
Правда, выигрывая в простоте анализа, в общности предположений
относительно свойств характеристической функции р(х) и т.д., мы несколько
теряем в общности тех условий, которым приходится подчинять разлагаемую
функцию.
Мы разрешаем задачу (В) в предположении, что эта функция удовлетворяет
условию Коши, а методы более общего характера, о которых идет речь,
требуют для равномерности разложения, чтобы разлагаемая функция была
только непрерывна и ограниченной вариации. Но, во-первых, различие между
этими двумя условиями мало чувствительно, а во-вторых, в применении к
задачам математической физики наше условие, само по себе достаточно
общее, оказывается более чем достаточным.
Принимая во внимание все сказанное выше и то обстоятельство, что главной
целью нашего сочинения является изучение таких вопросов интегрирования
дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными),
которые, представляя интерес с точки зрения чистого анализа, находили бы
ближайшее к основным задачам-математической физики, мы не будем
останавливаться на сложных изысканиях упомянутого выше общего характера,
имеющих по преимуществу отвлеченно-математический интерес.
ГЛАВА XI
Приложение предыдущей теории к решению основных задач математической
физики для тел линейных размеров.
Задачи первого типа, дифференциальные уравнения которых содержат только
первую производную по времени от искомых функций. Задачи второго типа,
характеризуемые дифференциальными уравнениями, содержащими только вторую
производную по времени от неизвестных функций.
Условия определенности решения рассматриваемых задач.
Приемы их решения
1. В гл. III мы установили подразделение главнейших задач
математической физики на три типа (п. 10 гл. III). Припоминая теперь все
Предыдущая << 1 .. 73 74 75 76 77 78 < 79 > 80 81 82 83 84 85 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed