Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 76

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 159 >> Следующая

а а
где А есть число, не зависящее от дс, а ф$ (дс, ?) означает первую
производную от ф(х, ?), взятую по переменной ?. Кроме того, нетрудно
удостовериться, что для фундаментальных функций второго класса функция ф
(jc, ?) удовлетворяет условию
ф(дс, Ь)-рф{х,а) = 0
при всяком дс, для фундаментальных функций первого предельного класса
условиям ф(дс, Ь) = 0, ф(дс, а) = 0 и для фундаментальных функций второго
и третьего предельных классов соответственно условиям
ф(х,Ь) = 0 и ф(х, а) = 0.
28. Рассматривая теперь дс как параметр, положим *(*.?)= 2 Bk(x)Vk{?) +
pn(%),
к= I
где
В к (х) = / р(?) Ф (х, ?) Ук (?) с/?. (61)
а
Принимая во внимание сказанное в предыдущем пункте, убеждаемся, что к
функции ф(х, ?) применимо неравенство (S3) п. 24, т.е. при всяком л
п п ь 2
2 ХкВ2к(дс)= 2 \к ( f рШФ(х, ?)И*(?)с/?) < М2(х), (62)
*=1 *=1 \ а /
194
где под М2 (дг) следует подразумевать выражение М2(х)= / ф? (х. %) (1% +
/ г/({) ф2 (дс, *) (1% +
в а
+ 7^"2 (дс, а) - Рф2 (дс, Ь)-2аф (дс, а) ф(х,Ь) (63)
для функций первого класса и
Мг(дс)= / i//| (дс, ?)с/?+ / </(?) Фг(х. %)В$-ртфг(х,а)
а а
для функций второго класса.
Для фундаментальных функций трех предельных классов можем принять,
согласно с изложенным выше, то же выражение (63), условившись считать:
для функций первого предельного класса а = 0 = у = 0, для функций второго
предельного класса а = 0 = 0 и для функций третьего предельного класса а
= у = 0.
Принимая в расчет свойства функции ф (дс, ?), указанные в предыдущем
пункте, заключаем, что во всех случаях
Л/2 (дс) <Л/2,
где М2 есть число, не зависящее ни от п, ни от дс. Формулу (62) можем
заменить следующей:
? \кВ2к(х) < Мг (64)
к = I
при всяком дс, принадлежащем промежутку [а, Ь\.
29. При помощи (60|) и (61) ряд
IAkVk(дс), Ак= / р(дс)Я*)Ук(х)dx,
к = I а
можно представить в виде
? АкУк(х)= ? А*/1*Л*(*). (65)
k= I к= I
Имеем
А* \А*Вк(х) I < ~ (А\ + Bl(x)).
оо оо
Так как ряд Z ХкАк, как доказано выше, сходится, а ряд Z ХкВк(х)
к= I k=I
сходится в силу (64), то ряд (65) сходится абсолютно при всяком дс в
промежутке [а, й].
Легко видеть, что этот ряд сходится и равномерно в рассматриваемом
промежутке. В силу сходимости ряда (65) можем писать
Z AkVk(x)= ? л*м*)+/м*),
k=| *=1
195
где R"(x) = 2 Х/с А к В/с (х). Но
* = Л+ I
оо V4 оо V4
!*"(*)!<( i ( 2 ХкВ1(х))
\*=п+1 / V *=n+I /
В силу (64) имеем
? \кВ1(?) < ?
*ЧП+1 *=|
ОО
С другой стороны, ряд 2 есть по предыдущему ряд сходящийся.
*= I
Следовательно, при всяком л, большим некоторого числа л0, можем положить
- е2
2 X*i4J* < -г при л>л0.
*=я+1 М
Из сказанного следует, что 1/?л(дс)| < с при л>л0,
где е - наперед заданное положительное число. Это неравенство показывает,
что при сделанных в п. 24условиях относительно функции Дх) ряд
? AkYktif) (")
*= I
сходится абсолютно и равномерно во всем промежутке [а, Ь\ для всех
фундаментальных функций с неотрицательными характеристическими числами.
30. Если применим теперь в расчет только что доказанное предложение в
общую теорему п. 3 гл. IX, то придем к следующей теореме:
Всякая функция f(x), удовлетворяющая неравенству Коши, разлагается во
всем промежутке [а, Ь\ в абсолютно и равномерно сходящийся ряд вида
Дх) = 2 АкУк(х), Ак = J p(x)f(x)Vk(x)dx, (66)
к= I а
по фундаментальным функциям Vk(x) первого класса, коль скоро функции р(х)
и q(x) и постоянные а, 0, у, входящие в дифференциальные уравнения и
предельные условия, определяющие эти функции, удовлетворяют условиям
p(x)>0, q(x)>0 при а<х<Ь, (67)
0<О, 7>0, а2 +07<О.
Всякая функция Дх), удовлетворяющая неравенству Коши и условию f(b) -
pf(a) = 0,
разлагается во всем промежутке [at Ь\ в абсолютно и равномерно сходящийся
ряд вида (66) по фундаментальным функциям Vk(x) второго класса, коль
скоро функции р(х) и q(x) удовлетворяют условиям (67), а постоянные ри т
соответствующих предельных условий - неравенству
рт< 0.
194
Всякая функция Дх), подчиненная неравенству Коши и условиям Да) =/(/>) =
О,
разлагается во всем промежутке [а,Ь\ в абсолютно и равномерно сходящийся
ряд вида (66) по фундаментальным функциям первого предельного класса,
коль скоро функции р(х) и ц(х) удовлетворяют условиям (67).
Всякая функция Дх), подчиненная условию Коши и следующему: ДЛ) =
= О, разлагается во всем промежутке [а,Ь\ в абсолютно и равномерно
сходящийся ряд вида (66) по фундаментальным функциям К*(х) второго
предельного класса, если функции р(х) и q (х) удовлетворяют неравенствам
(67), а постоянная у соответствующих предельных условий - неравенству
7>0.
Наконец, всякая функция Дх), удовлетворяющая условию Коши и следующему:
/(<0 = 0,
разлагается во всем промежутке [а, Ь\ в абсолютно и равномерно сходящийся
ряд вида (66) по фундаментальным функциям Vk (х) третьего предельного
класса, если функции р(х) и </(х) удовлетворяют неравенствам (67), а
постоянная 0 соответствующих предельных условий - следующему: 0<О.
31. Заметим, что эту теорему можно вывести, не прибегая к теореме п. 3
Предыдущая << 1 .. 70 71 72 73 74 75 < 76 > 77 78 79 80 81 82 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed