Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
метод, который я назвал методом Шварца - Пуанкаре, при сравнительно общих
предположениях относительно разлагаемой функции /(х) и функций
д(х)и</(х).
Эти первоначальные исследования получили затем дальнейшее развитие в
упомянутом в п. 9 гл. V мемуаре ''Probleme de refroidissement d'une barre
h&^rogfcne" и затем в заметке "Sur un ргоЫёте d'Analyse intimemete lie
avec le ргоЫёте de refroidissement d'une barre h?tdrog?ne" в Comptes
Rendu s (8 avril, 1907). В этих статьях я ограничивался исключительно
частным случаем функций Штурма - Лиувилля.
Обобщение этого метода на случай каких угодно фундаментальных функций с
неотрицательными характеристическими числами и ее усовершенствование
составляют предмет настоящей главы этого сочинения.
В 1913 г. я предложил другой прием решения задачи (В), также основанный
на теории замкнутости, но применимый ко всем фундаментальным функциям
Ук(х) без только что упомянутого ограничения характеристических чисел**)
.Гл.IX настоящего сочинения дает изложение этого последнего метода в
усовершенствованном и обобщенном виде.
35. Существуют и другие приемы решения рассматриваемой задачи, основанные
на так называемом асимптотическом представлении функций данного вида, по
которым производится разложение в ряды типа Фурье произ-
*) Не считая условия положительности этих функций, которое не может
доставить никаких затруднений в практических приложениях. .
Предыдущий анализ можно распространить и на некоторые случаи прерывных
функций р (х) и q (х), но на этом мы не будем останавливаться.
**) W.Stekloff (V.Steklov). Sur eertaines questions qui se fattachent a
plusieurs problem*" da la Physique Mathdmatique (cm. n. 9 гл. V).
200
вольно заданных функций. Одним из таких приемов пытался решить задачу и
сам Лиувилль.
Обобщение и развитие идей Лиувилля, давшие строгое решение задачи в
случае функций Штурма - Лиувилля, принадлежат А. Кнезеру (Mathem, Ап-
nalen, Bd. 58,60 и 63), который пользовался в своих исследованиях
методами Дю-Буа-Реймона и Дини.
В 1907 г. в мемуаре "Sur les expressionsasymptotiques de certaines
fonctions, definics par les equations diffe'rentielles line'aires du
second ordre etc." (Сообщ. Харьк. Мат. Общ., 1907) я распространил метод
О. Бонз и Г. Дарбу для полиномов Лежандра и Якоби на многие другие случаи
и, в частности, на вывод асимптотических выражений для функций Штурма -
Лиувилля. Пользуясь этими выражениями и теорией замкнутости, я дал особый
метод решения задачи (В) с той же общностью, какая достигнута в настоящее
время для обыкновенных тригонометрических рядов Фурье.
В заметке, появившейся в 1910 г. в Rendic. d. R. Accad. dei Lincei
(''Solution generate du probleme de de'veloppement d'une fonction
arbitraire en series suivant les fonctions de Sturm - Liouville"), этот
метод был затем мною значительно упрощен и обобщен.
36. Во всех разнообразных методах упомянутых выше авторов и в теории,
изложенной в настоящем сочинении, существенную роль играют условия
ортогональности рассматриваемых фундаментальных функций, на что обращено
особое внимание в гл VIII. Распространение этой теории на самый общий
случай, когда в предельных уравнениях, характеризующих фундаментальные
функции, условия ортогональности не соблюдаются, представляется крайне
затруднительным.
Но в применении к математической физике такого рода обобщения и не имеют
особого значения: во всех задачах, как указано выше (гл. V, п. 2),
условия ортогональности выполняются и являются, таким образом,
естественным следствием физического смысла этих задач.
Далее, во всех известных или мыслимых задачах математической физики
фундаментальные функции и им соответствующие характеристические числа
должны быть вещественными (в большинстве случаев-последние, кроме того,
положительными). Это обстоятельство, как показано в гл. VIII, может не
иметь места при несоблюдении условий ортогональности.
Наконец, в этом последнем случае станет сомнительной и сама
определенность физической задачи даже в том предположении, что
соответствующие характеристические числа и фундаментальные функции
окажутся все вещественными, в чем легко убедиться из рассуждений гл. IV и
V.
37. Однако с точки зрения чистого анализа изучение вопроса в самом общем
виде не лишено интереса, но требует применения особых, более общих
методов.
Один такой метод был намечен еще Коши в 1827 г. в "Me'moire sur
('application du calcul des residus a la solution des problemes de
Physique Mathe'mati-que" и применен А. Пуанкаре к решению задачи (В) (при
исследовании некоторых аналогичных вопросов в пространстве трех
измерений) в его известном мемуаре "Sur les equations de la Physique
Mathematique" (Rendic. di Palermo, 1894).
Этот метод получил дальнейшее развитие и обобщение в работах Биркго-фа
(Trans. Americ. Society, 1908, и Rendic. di Palermo, 1913),атакжевдис-
201
сертации Я.Д. Тамаркина "0 некоторых общих задачах теории обыкновенных
линейных уравнений и о разложении произвольных функций в ряды"
