Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
=0, коль скоро
р(х)> 0, q{x)> 0, для случая (6i)
y=Ul -U2= 0,
если
U<0, р(х)> 0, q(x)> О, и, наконец, для случая (c'i)
у = и, - U2 =0,
(32)
(33)
215
если
у>0, p(x)>0, q(x)>0. (34)
Получается опять тот же результат, что и для соответствующих задач тепла.
18. Таким образом, во всех случаях, когда удовлетворяются условия (29),
(30), или (31), или (32), (33); (34), задача допускает одно и только одно
определенное решение.
При этом, как известно уже, все числа X* оказываются неотрицательными и
искомая функция U(x,t) представляется совокупностью членов, периодических
относительно времени t (ряд (18)), что совпадает с физическими
требованиями тех идеальных задач теории звука, света, электричества и
т.п., которые характеризуются дифференциальными уравнениями типа (В).
Единственно возможное решение представится равенством (18), если мы
докажем все положения, намеченные в п. 12.
Основываясь на результатах,установленных в гл.Х,можем утверждать,что
условия (20) будут действительно выполнены во всех рассматриваемых теперь
случаях,если предположить, что функции /(х) и f\ (х) удовлетворяют
условиям теоремы п.30 гл.Х. При этом постоянные A k и Вк представятся в
виде
Ак = / p(x)f(x)Vk(x)dx,
\ ь С (35)
В к = ~т=г / p(x)ft(x)Vk(x)dx = -~=г
V X* а V X*
и формулы (20) дадут равномерное разложение функций Дх) и /Дх) по
функциям Vk(x) во всем промежутке [а, Ь\.
Останется только установить те условия относительно заданных функций Дх)
и fi (х), при которых ряд (18) и ряды, получающиеся из него
двукратным почленным дифференцированием по / и по х, сходятся
равномерно в
промежутке [а, 6] при / > 0, т.е. найти достаточные условия равномерной
сходимости следующих рядов:
оо -
S, = 2 \А7(Д* cos/\A7'-'4* sin/\A7) К*(х),
к - 1
(36)
оо _____
S2 = - 2 X* (Вк sin / >/хГ + Ак cost \А7) Vk(x),
к= 1
ОО
S з=2 (Ак cos t \/ \к + Вк sin / \АХ7) Vk(x). (36!)
к= !
ОО ____
54 = 2 (Ак cos t \/ \к + Вк sin t \J \к ) V Дх) =
к= 1
оо _____
= </(х) 2 (Ак cost v%' +вк Sin/V^) Vk(x)~
к = 1
ОО -
-р(х) 2 X* (Л* cos/s/xT +Вк sin/xAT) Vk(x), (362)
к ~ 1
216
где под Ак и Вк следует подразумевать постоянные, определяемые
равенствами (35).
19. Решение вопроса об условиях абсолютной и равномерной сходимости
аналогичных рядов для задач первого типа (теория теплоты) значительно
облегчалось благодаря входившему в них множителю е~ Хк'.
В данном случае роль этого множителя играют тригонометрические функции
cos / \f\k и sin / V \к\ что значительно усложняет исследование и
приводит к необходимости наложить на заданные функции Дх) и Д (х)
некоторые дополнительные ограничения сверх указанных в предыдущем пункте,
от которых трудно освободиться.
Рассматривая ряды (36), (361) и (362), замечаем, что если для какого-либо
класса функций Дх) и /, (х) будет установлена равномерная сходимость
рядов
? | АкУ'к{х)\, ? >АГ1Л*М*)1. 2 X*U*K*(x)l (37)
к = I * = I * - I
2 \ВкУЦх)\, 2 ^1Д*К*(х)1, 2 Х*1Я*К*(х)1 (37.)
*= I *= I *= I
в промежутке [а, Ь\, то тем самым будет доказана абсолютная и равномерная
сходимость рядов (36), (36,) и (362) для того же класса функций Дх) и (х)
при всяком t*). При этом для сходимости вторых из рядов
(37) и (37,) достаточно лишь доказать сходимость рядов
? Х*|Л*К*(х)1 и ? X* \Вк К*(х)1.
*=I *= I
Но, в силу второго из (35) ,
? Х*1Д*Мх)1= ? \ЛхГ1С*КДх)1. (38)
*= I *=I
Поэтому, если будет доказана равномерная сходимость ряда
? X* \Ак Р*(х)1 (39)
к= I
для какого-либо класса функций Дх), то отсюда сама собой будет вытекать и
равномерная сходимость ряда (38) для всякой функции /, (х), подчиненной
тем же условиям, что и Дх).
Итак, дело сводится к определению достаточных условий равномерной
сходимости ряда (39) в промежутке (а,Ь]. Для всех функций Дх) и Д (х ),
удовлетворяющих ^тим условиям, ряды (36) и (362) будут сходиться
абсолютно и равномерно в промежутке \а, Ь\ при всяком /.
20. При исследовании этого вопроса мы ограничимся простейшим случаем
граничных условий первого класса (а) и предельным случаем (а,) как
имеющими непосредственное приложение к классической задаче о колебании
упругих струн. Приемы доказательства сходимости ряда (39) для
*) И равномерная сходимость этих рядов в (в < х < b, t >0). (Прим. ред.)
217
других случаев будут, по существу, те же самые, что и для двух указанных
выше.
Итак, допустим, что функции Ук (х) ряда (39) определяются уравнениями
^kW+lX*/>(*)-<7(*)m(*) = 0, (40)
V'k(b)-aVk(a)-pVk(b) = 0,
Vi(a)-yVk(a)*aVk(b) = 0. (41)
При помощи (40) получаем
Х*Л* = X* / P(x)f(x)Vk(x)dx = / q(x)f(x)Vk(x)dx - f f(x)Vk(x)dx. a a
a
(42)
Имеем, интегрируя по частям,
/ Я*) V к (x)dx = (Rx)V'k(x)- f(x) Vk (X))
a
+ / f"(x)Vh(x)dx. (43) a a
Мы допускаем, следовательно, что функция /(х) имеет вторую производную.
Допустим, кроме того, что функция /(х) удовлетворяет тем же граничным
условиям, что и функции Vk(x), т.е. что
/*(*)-<*/(*)-/}/(*) = 0,
f(a)-yRa)+aRb) = 0.
При этом
(Rx)V'k(x) - f'(x)Vk(x)) Ь =0
а