Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 82

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 159 >> Следующая

Легко понять, что сходимость рядов (13,), (5) и (7) будет установлена при
только что указанных условиях, если мы докажем, что при этих же условиях
ряд
? Ак\ке-Хк'Vk(x) (14)
* = 1
сходится абсолютно и равномерно.
Доказательство этого предложения уже имеется в пп. 5 и 6 гл. IX. В самом
деле, ряд (14) при помощи формулы (12) п. 5 этой главы представляется в
виде
? Ак\2ке~Кк'Ск(х). (15)
к ~ \
Так как при достаточно большом к и t > 0 \?е~Х*' < 1,
то ряд (15) или, что то же, ряд (14) будет сходиться абсолютно и равно-
оо
мерно, если ряд 2 М*| | Ск(*) | сходится равномерно.
к = I
Но сходимость этого ряда для всякой функции J\x), интегрируемой в
промежутке [а, Ь\, вытекает непосредственно из абсолютной замкнутости
фундаментальных функций Vk (х) и доказывается совершенно так же, как и
равномерная сходимость ряда (14) п. 6 гл. IX.
*) В пп. 5-8 доказано, что ряды (4) - (7) сходятся равномерно по Ct.x) на
множестве (я < ар < ft, 8 < t < 7") при любых 8 и Т, 0 < В < Т. (Прим.
ред.)
209
Итак, ряды (131), (5) и (7) сходятся при t >0 равномерно в промежутке [а,
Ь], какова бы ни была функция Дх), интегрируемая в этом промежутке.
Что касается ряда (6), то его равномерная сходимость при том же самом
условии относительно функции Дх) уже доказана в п. 8, ибо приведенное там
доказательство основано исключительно на абсолютной замкнутости функций
Р*(х).
Предложение, высказанное вначале этого пункта, можно считать доказанным.
10. Из сказанного следует, что дополнительные ограничения свойств функции
Дх) необходимы лишь для доказательства того, что функция U(х, t),
определяемая рядом (131), действительно удовлетворяет начальному условию
(1). Это же последнее условие, как указано выше, будет действительно
выполнено, если функция Дх) подчиняется условиям п. 30 предыдущей главы.
Сопоставляя все предыдущее, приходим, таким образом, к следующему
результату:
Общая задача об охлаждении твердых тел линейных размеров вполне
разрешается по методу Эйлера - Бернулли, причем искомая температура тела
U(x, t), изображаемая рядом (131), действительно удовлетворяет всем
требованиям, определяющим задачу, т.е. дифференциальному уравнению (А),
предельным условиям (а) или (Ь) и начальному условию (1), если только
начальная температура тела, т.е. функция Дх)удовлетворяет неравенству
Коши и тем дополнительным предельным условиям для случая фундаментальных
функций второго или третьего предельного класса, которые указаны в п. 30
гл. X*) .
11. Переходим теперь к исследованию задач второго типа, когда искомая
функция U(х, г) определяется дифференциальным уравнением (В), начальными
условиями (3) п. 2 и теми же самыми предельными условиями (а) или (Ь) п.
1.
Решение задачи получается при помощи того же самого обобщенного метода
Эйлера - Бернулли, что и в предыдущем случае.
Ищем частное решение уравнения (В) в виде
U(x, t)= У(х) W(t). (16)
Подставив это выражение U(x, t) в (В), получаем d2V(x)
1 d2 W(f) Их2
W(t) dt2 p(x)V(x) '
откуда выводим
И"(х) + [*р(х)-</(х)]1Дх) = 0 (17)
W"(t) + \W(t) = 0, где X есть некоторый параметр.
*) Выше доказано, что функция Uix.t) (13,) принадлежит С [а < х < b. "t >
0) п П С2'! (в < х <, b, Т > 0); решение задачи в атом классе, очевидно,
единственно .(Прим. ред.)
210
Последнее из этих уравнений дает
W(t) = A cos t VT1 + В sin / \fY.
Следовательно, в силу (16),
U(x, t) = (A cos t vT + В sin t vT ) P(x),
где А и В суть две произвольные постоянные.
Полученное выражение для U(x,t) будет удовлетворять и предельным условиям
(а) или (Ь), если подчиним функцию У(х) еще следующим условиям:
У'(Ь) = аУ(а) + рУ(Ь),
У'(а) = уУ(а)-аУ(Ь) в случае равенств (а) ;
У(Ь) = рУ(а). У'(Ь)= -j У'(а) + тУ(а)
в случае равенств (Ь).
Определение функции У(х) приводится, как видим, опять к разысканию
характеристических чисел X* и фундаментальных функций Ук (х), т.е. к
вопросу, уже вполне разрешенному предыдущими исследованиями.
Зная в каждом частном случае эти числа X* и им соответствующие функции Ук
(х), получим для каждого такого числа и ему соответствующей функции
частное решение вида
U к (х, /) = (А к cos t \рКк + В к sin t уПГк)Ук{ху
Общее решение, формально удовлетворяющее и уравнению (В) и предельным
условиям (а) или (Ь), представится в виде ряда
U(x,t)= 2 (Ак costy/~\? + Вк sinty/T?) Ук(х), (18)
к = I
где суммирование распространяется на все фундаментальные функции Ук (х),
принадлежащие к их полной системе.
12.Ряд
2 (Bkcosty/Tk -Л* sin/>АГ)>/\Г Vk(x), (19)
к= I
получающийся из (18) почленным дифференцированием по t, при t = 0 об-
оо ^
ращается в 2 V X*' Вк У к (*). ряд же (18) при том же значении t = 0 дает
к= I
2 AkVk(x).
к= I
Если теперь в формуле (18) выберем постоянные А к и Вк так, чтобы было
2 АкУк(х)= Дх). 2 у/Ъ ВкУк(х)= /\(х), (20)
*=I *= I
то ряд (18) представит формальное решение задачи, ибо он будет
удовлетворять формально уравнению (В), начальным условиям (3) и требуемым
задачей предельным условиям.
Предыдущая << 1 .. 76 77 78 79 80 81 < 82 > 83 84 85 86 87 88 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed