Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
k= I
Отсюда, умножая на p(x))\x)dx и интегрируя результат от а до Ь, сейчас же
выводим уравнение замкнутости
/ р(х)/2(х)с/х = 2 А\.
a k = I
Следовательно, всякая полная система рассматриваемых нами фундаментальных
функций есть система замкнутая по отношению к любой функции Дх),
удовлетворяющей условиям теоремы предыдущего пункта.
Покажем, что функции Vк(х) образуют систему, замкнутую по отношению к
любой функции Дх), имеющей только производные двух первых порядков,
независимо от того, удовлетворяет ли эта функция предельным условиям (9)
или нет. Введем полином
F(x) = а(х - а)2 + /3(х - а)2 (х - а -е), (17)
где а и /3 - две пока не определенные постоянные.
Каковы бы ни были а и /3, этот полином всегда удовлетворяет условиям
F(a)= 0. F'(a) = 0. (18)
Определим а и /3 при помощи следующих уравнений:
F(a + е) = Да + е), /г'(д+е) = )'\а+е). (19)
Получим следующие уравнения для а и /3:
е2а=/(а + е), е3/3 = е/'(д + е) - 2Дд + е). (20)
Найдем высший предел модуля F(x) при изменении х от а до а + е. Очевидно
из (17), что max I АХ*)! ^ е2 I al + е3 I /31. Но, в силу (20),е2|а| <
<Л/, е3 I /3| < 2М + М{, где М и М{ обозначают max 1/(х)1и i/'(x)l в
промежутке [а, Ь \. Следовательно, для промежутка [а, а + е]
шах 1/-'(х)|<ЗЛ/ + Л/, -N. (21)
Составим затем полином
F, (х) = а, (й - х)2 + /3,(й -х)2 (Ь - е -х),
где а! и Pi - две пока не определенные постоянные. Очевидно,
/•',(*>) = 0, F',(/>) = 0. (22)
Определим эти постоянные при помощи условий
F,(b-e)= J\b ~е\ F\(h -е) = f'(b -е), (23)
что дает
е2а, = f(b - е). еэ/3, = 2ДЬ - е) - ef\b - е).
163
Отсюда, подобно предыдущему, заключаем, что в промежутке \Ь - е, Ь\ max
IFi(jc) |<е21 а, |+ еЛ 10, |< ЪМ + Л/1 = N. (24)
8. Составим функцию <^(дс), удовлетворяющую условиям "p(x) = F(x) при
а<х<а + е,
tp(x) = f'(x) при а + е<х<Ь-е, (25)
у(х) = Fi (х) при 6-е<дс<6,
где под/'(дг) подразумевается какая-либо функция, подчиненная одному
только требованию, что она допускает производные двух первых порядков в
промежутке \а,Ь\. Равенства (19) и (23) показывают, что введенная нами
функция <р(х) непрерывна вместе со своей первой производной в промежутке
[а, Ь\, ибо такова же, в силу сделанных предположений, и функция }\х).
Кроме того, очевидно на основании (18) и (22), что
Да) = ф(а) = Д6) = <*>'(*) = 0.
Следовательно, х) несомненно удовлетворяет условиям L(v) = 0 и
А,("^) = 0.
Легко видеть, наконец, что >р(х) имеет и производную второго порядка
(всюду, кроме точек х=а + еих = Ь- е), интегрируемую в промежутке от а до
Ь. Функция х) удовлетворяет всем условиям теоремы п. 6. Следовательно (п.
7), всякая полная система фундаментальных функций замкнута по отношению к
функции >р(х), т.е.
( 77 \
-) при п>п0, (26)
где ?72 есть произвольно заданное положительное число.
9. Применим основное неравенство (10) п. 4 гл. II к функциям Г(х) = =
fix), Ф(х) = <р(х). Получим
VS" (/) < VSn (ч>) + у/ f р{х) (Дх) - <p{x))2dx. (27)
a
Приняв в расчет (25), можем писать
/ Pix)(Jix)-<pix)?dx = С +//, а
где
G= S Pix)iJix)-vix)?dx= f pix)(fix)~Fix))1dx,
о a
H= f pix)ifix)-ip(x))2dx= f pix)iJix) - Fiix)fdx.
b-e b- *
Обозначая через P0 maxp(x) в промежутке \a,b\ и принимая во внимание
неравенство (21), находим
G<P0iM + N)2e, Н </>о(Л/ + /V)2e.
164
Следовательно,
}/>(*)(/(дг) - *<дг))2dx < 2Л,(Л/ + Л/)2 е = ( "~ ) •
47 2
Сопоставляя это неравенство и неравенства (26) и (27), выводим
V S" (/) < rj при п > п0. (27,)
Отсюда следует, что всякая полная система фундаментальных функций есть
система замкнутая по отношению к любой функции /(дг), подчиненной лишь
следующим условиям: (а) функция /(дг) непрерывна вместе со своей первой
производной и (Ь) имеет вторую производную, интегрируемую в промежутке
\а, Ь\.
Отсюда, основываясь на общей теоремеп.9гл. II, приходим к следующей:
Всякая полная система рассматриваемых нами фундаментальных функций
Vk(x)(k = 1,2,3, ...) есть система абсолютно замкнутая.
10. Докажем теперь одну теорему, справедливую для любой системы функций
(*). ^:(*). • • •, 'Pk(x), (28)
ортогональных по отношению к некоторой неотрицательной функции р(х) в
данном промежутке |а,Ь\. Допустим для простоты, что система (28) не
только ортогональна, но и нормальна.
Пусть /'(л ) есть функция, удовлетворяющая во всех точках от в до Ь
условию
/(¦*)= f f'(z)dz+А, (29)
а
где А есть некоторая постоянная, а символ /'(г) обозначает некоторую
функцию, интегрируемую в промежутке (а, Ь\, которая, в частности, может
быть и производной от функции Дг) в обычном смысле слова. Положим
/(*) = 2 Ak<pk(x) + p"(дс),
k - I
Ак = / p(x)/(x)fk(x)dx. (30)
а
Предполагая затем, что функции *рк (дг) имеют первые производные, положим
еще
/'(дг)= 2 Ак*'к(х) + р'"(х). (31)
к= 1
Здесь \р'к(х) обозначает производную от *рк(х) в обычном смысле, а р'"{х)
есть некоторая функция, обращающаяся в обыкновенную производную от рп(х),
если /'(дг) представляет такую же производную от /(дг). Вообще же, это
будет интегрируемая функция, обладающая следующим свойством. Из равенства
