Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 67

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 159 >> Следующая

(29) следует, что
А = f(a). (32)
Проинтегрировав (31) в пределах от а дохи приняв в расчет равенства (29),
(30) и (32), находим
Рл(*) = / Pn(x)dx + р"(а),
следовательно, р'" (дг) играет по отношению к р" (х) ту же роль, что и
функция /'(*) по отношению к Дх).
Припоминая сказанное в п. 13 гл. I, можем в дальнейшем применять к
функциям Дх) и р"(х) все формулы интегрирования по частям так, как если
бы эти функции имели производные /'(х) и р'п (х), взятые в обычном
смысле. Условимся поэтому называть уравнение (31) производным от
уравнения (30), а интеграл
SW(f)= s p'ZWdx (33)
а
- квадратичной погрешностью ряда, производного от ряда
I Ak*k(x). (34)
*= I
11. Предположим, что квадратичная погрешность ряда, производного от
ряда (34), удовлетворяет условию
5(П°(Л<С2, (35)
где С2 есть конечное число, не зависящее от п. Пусть % и х - две какие-
либо точки промежутка [а, Ь\. На основании сказанного в предыдущем пункте
можем писать следующее тождество:
Рл (?) = р? (х) - 2 / р" (х) рп (х) dx (35,)
t
(ср. аналогичное тождество п. 37 гл. V). Отсюда, приняв во внимание (33),
выводим
р\(*) < р\ (*) + 2 У I P2"{x)dx . (36)
а
Предположим теперь, что функция р(х) не обращается в нуль ни в одной из
точек промежутка [а, Ь\. В таком случае
? ? Р(*)Рл(*) , " Sn(f)
f p2(x)dx= f ------------- dx<,-------------- ,
a a P(x) Po
где, напомним, p0 означает minp(x) в промежутке [а, 6]. Неравенство
(36) при помощи (35) приводится к такому:
РЙ")<рХСх)+-^7 \fSjf)-
V Ро
*) Ибо / p'ndx < / p'{,(x)dx, f p2n(x)dx < / p%(x)dx. t a ( a
166
Умножим это неравенство на p(x)dx и интегрируем результат по х в пределах
от а до Ь. Получим
р1<Х) < ~г + ^(Л (36.)
G V Ро
- неравенство, имеющее место при любом ?, принадлежащем промежутку \а,Ь\.
Отсюда при помощи (27,) выводим
Ъ2 2С
Рп(c)<-2 + -7=rV = e2 при п>п0.
Q2 V Ро
Это неравенство приводит к следующей теореме:
Всякая функция /(х), удовлетворяющая условию Коши
\f(x')-f(x)\<p\x' -х\, (37)
где р есть положительная постоянная, не зависящая от положения точек х их
в промежутке [а, Ь], разлагается в этом промежутке в равномерно
сходящийся ряд типа Фурье
/(х) = 2 Л*<р*(х), Ak = / p(x)f(x)vk(x)dx,
к = I а
какова бы ни была абсолютно замкнутая система ортогональных и нормальных
функций >Pk(x) (k = 1,2,3, ...), коль скоро квадратичная погрешность
производного ряда
s4 > (Я = / [ /'(*) - 2 Ak<p'k (x)]J dx<c2, (38)
a k=l
где С2 - конечное число, не зависящее от п.
12. Рассмотрим квадратичную погрешность /38) производного ряда для
фундаментальных функций Vk (х). Начнем с функций первого класса. Заменив
в формулах (30) и (31) <рк(х) через Vk (х), получаем
Дх)= 2 AkVk(x) + pn(x),
к= 1
Ак= f p(x)f(x)Vk(x)dx, f\x) = 2 AkV'k(x)+p'n(x). (39)
a k= I
Отсюда
f f\x)p'n(x)dx- 2 Ak f V'k(x) p'n(x)dx. (40)
a fc= 1 a
Интегрируя по частям и приняв в расчет уравнение, которому удовлетворяет
функция Vk (х), находим
/ V'k(x)p'n(x)dx = pn(b)V'k(b) - рп(a) V'k(а) - f p"(x)Vl'(x)dx =
a a
Pn (b) V'k Ф) - Рп (a) V'k (a) - f q(x) p" (x) Vk (x) dx,
a
167
ибо при всяком к от 1 до п
f p(x)pn(x)Vk(x)dx = 0*). (41)
а
Следовательно,
2 Ак / V'k(x)p'n(x)dx = р"ф) 2 AkVk(b)-
к=\ а *=1
-р"(а) 2 Л*Н*(а)- / q(x)p"(x) 2 /1* И*(дг)с/дг. (42)
*=1 а к= 1
Воспользуемся теперь предельными условиями
V'k(b) = aVk(a)+pVk(b), Ki(e) = 7Н*(<0 - аУкф).
которым удовлетворяют фундаментальные функции первого класса. Получим
Кп=рпф) 2 AkV'k(b) - р"(а) 2 /(*^(<0 =
1с=1 * = 1
= 0р"(А) 2 >1*К*(*)-7Рп(в) 2 Л*Н*(в) +
*=i *=i
+ а[р"(*) S Л*Н*(в) + Р"(*) 2 Л*Н*(А)Ь (43)
*= 1 *=i
откуда при помощи (39) выводим Кп = УРп(а) - &Р" Ф) - 2ар" (а) р"ф) +
+ (с№ + №Ь))р"(Ь)~ (у№-<*№)Рп(а)- (43.)
Заметив далее, что, в силу того же равенства (39),
/ Я(х)р"(х) 2 AkVk(x)dx =
а * = 1
= / ч(х) рп (*) ( /(*) - Рп (х)) dx. (43 2)
а
и приняв в расчет (43), (431) и (42), приводим (40) к виду S МЧ/) = /
JJ(x)p'"(x)dx + / </(jf)p"(-v)(/(х) -
а а
- Рп (х)) dx - 7ргп (а) + Рр2" ф) + 2ар" (а) р" (Ь) -
- [а/(а) + 0/ф)] рп ф) + [7Да) - а}ф)\ р" (а). (44)
*) Умножив (39) на р(х) Vk(x)dx и интегрируя результат в пределах от а до
h, приходим к равенству (41), приняв в расчет выражения коэффициентов Ак
и условия ортогональности и нормальности функций Vk(x) (см. равенства (2)
и (3) п. 1 гл. 1).
13. Имеем
I 2 ар" (d)p" (b) | < | a | (p% (a) + p2" (b)),
|(a/(e) + PAb))Pn(b)\<-([af(a) + 0f(b)]2 + p2 [*]),
l(7/(")-et/(6))p"(")'l<~ {[yf(a)-af(b)]2 + p,2(e)). (45)
Далее,
if Q (x)P" (x)f'(x)dx | < a
<(f ^"77 /'(*)dx f p (x)p2 (x)dxY/2 = Ну/ЩяП, (46)
V" P (X) a J
"2 ? " 2 (*>,2, где н = j -------/ (x) dx есть конечная положительная
постоянная,
а р (X)
ибо по условию р (х) не обращается в нуль в промежутке [а, 6].
Обозначив затем через G максимум функции I q (х) |/р (х) в
рассматриваемом промежутке, получаем
\fq(x)p2(x)dx\<GSn{f). (47)
а
Наконец, в силу неравенства Буняковского
l//'(x)p"'(x)dx |< а
< n/SJ11/ л/f f2\x)dx = 2р0 y/si'Hf). (48)
а
Положительные числа Ро, G и Н зависят лишь от данных постоянных а, 0, у и
Предыдущая << 1 .. 61 62 63 64 65 66 < 67 > 68 69 70 71 72 73 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed