Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Только для этих особен-
154
ных значений X уравнение (16) и допускает в рассматриваемом случае
решения, удовлетворяющие условиям (12), причем получается бесчисленное
множество вещественных и комплексных решений.
8. Рассмотрим еще следующую задачу: найти интеграл уравнения
^"(дс) + Х*1'(дс) = 0 (22)
при предельных условиях
У\п)- У(0) = 0, V\Q)-V{v) = 0. (23)
Мы имеем здесь частный случай предельных условий первого класса (I),
причем
а = О, Ь = л, а=1, /3=7 = 0, 6=1. а + 6 = 2 =?0,
т.е. условие ортогональности не соблюдается.
Равенство (9) дает
(I - X2) sin Хл
со(Х) ------------------ =0
X
- уравнение, имеющее один корень X't = I второй кратности и бесчисленное
множество простых корней X* = к *) (к = 2, 3,...).
Получается бесчисленное множество положительных чисел
X* = к2 {к = 1,2,3, . ..),
каждому из которых соответствует определенная функция Ук {х),
удовлетворяющая условиям
Pi'W + X* Vk(x) = 0,
Vli*)- М0) = 0, У'к(0)- ^(тг) = 0.
Функции Ук(х) в данном случае,конечно, неортогональны. Числу \к = I
отвечает функция
I^i(jc) = Ci(sin.v -cos*), (24)
гдеС| - произвольная постоянная.
Несмотря на то, что условия ортогональности не соблюдаются, окончательный
результат вполне аналогичен с тем, который был получен и в общей теории
ортогональных фундаментальных функций.
Однако общая теория Шварца - Пуанкаре к рассматриваемому случаю, как
сейчас увидим, непосредственно не прилагается.
9. Когда условия ортогональности соблюдаются, то все числа X* должны быть
простыми полюсами мероморфной функции У(х, X) удовлетворяющей уравнению
У"(х, Х) + Х2 У(х, X) + /(*) = 0, общий интеграл которого определяется
формулой (17).
*) Корни \'к = ±к (Лг- 1, 2, здесь не различаются, поскольку в дальнейшем
значение имеют лишь числа (X*.)2. (Прим. ред.)
155
Подставив выражение (17) в уравнения (23), получим
- Ci (1 + X sin Хя) + С2 cos Хя = В sin Хя + A cos Хя,
- Ci X cos Хтг + С2(Х - sin Хтг) = В cos Хтг - A sin Хтг.
Отсюда
(X sin Хтг - l)fi + А X cos Хя Ci = . * - ,
(1 - X ) sin Хя
- В cos Хтг + А (X + sin Хтг)
2 (1 - X2) sin Хтг
Искомая функция У(х, X) представится в виде
А X cos Хя + В(\ sin Хя - 1)
У(х, X) = eos Xjc------------------------------- +
(1 - X ) sin Хя
А (X + sin Хя) - В cos Хя
+ sin Xjc ------------:---------------+ r(x).
Х(1 - X ) sin Хя
Это есть мероморфная функция от X; все ее полюсы простые, за исключением
полюса *) Xi = 1, который оказывается полюсом второй кратности.
Итак, У(х, X), как и в теории ортогональных функций, представляется в
виде V(x, X) = 1V(jc, Х)До(Х), hoX = Xi = 1 есть корень второй кратности
функции <о(Х), причем IV (jc, Xt)= IV(jc, 1) в нуль не обращается, ибо,
как легко убедиться,
1V(jc, 1) = (В + А) (sin jc - cos jc),
т.е. обращается в функцию Vifx) (24), соответствующую числу Xi = 1,
которое является, следовательно полюсом второй кратности функции У(х, X).
10. Определим, наконец, функцию У(х, X), удовлетворяющую тому же
уравнению (25) при предельных условиях
К(тг) = 0, К'(я)- К(0) = 0
(равенство (15) п. 4). Получим
sin Xjc sin Xjc cos Хя + X cos Xjc 1V(jc, X)
К(х.Х) = Л + r(x)-B ----------------------------------------- = -- .
X Xco(X) co(X)
где, как легко убедиться,
IT IT
A = S /(Jt)cosXjc dx, B- f /(jc) sin Xjc dx, о о
cos Xjc t sin \x x
r(x)= ----------- f /(JC) sin Xx dx------- f f(x)cos\xdx,
X о X о
sin Хя co(X) = - ¦¦¦ + 1.
*) См. сноску на предыдущей странице (Прим. ред.) 156
Функция У(х, X) есть мероморфная функция X, но не имеет ни одного
вещественного полюса. При всяком же комплексном полюсе X* *) числитель
W{x, X) в выражении У(х, X) обращается в комплексную же функцию
У к (jc) = cos X* jt sin X* x + X* cos \kx, которая, очевидно,
удовлетворяет уравнению K*(*) + xiK*(jr)-o
и условиям Ук (я) = 0, Ук (я) - У к (0) = 0.
Получается как раз тот случай, который невозможен при соблюдении условий
ортогональности.
11. Теория интегрирования дифференциальных уравнений при соблюдении
известного рода условий на пределах, играющая в настоящее время видную
роль в анализе и особенно в теории функций вещественной переменной,
развилась на почве попыток применить математический анализ к решению
простейших задач физики, и, прежде всего, задачи о колебании упругой
струны (Эйлер, Бернулли, Лагранж).
Последующие авторы (Фурье, Штурм, Лиувилль, Лямс и др.), постепенно
переходя от простейших задач к более сложным, но руководствуясь постоянно
при постановке зтих задач соображениями физического характера, положили
начала (Пуанкаре) той теории, которая развита выше в обобщенном и
усовершенствованном виде.
Именно благодаря тому, что во всех вопросах физического характера на
первый план по чисто физическим соображениям выдвигается необходимость
удовлетворить известным по наблюдению условиям, которые имеют место на
границах той среды, в которой происходит изучаемое физическое явление, и
была создана упомянутая выше задача об интегрировании дифференциальных
уравнений.
С другой стороны, именно благодаря тому, что во всех задачах физики
