Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
а
х* ; p(x)J\(x)Vk(x)dx = - Vk(a), к Фг. (28.)
а
И. Обозначим фундаментальные функции, соответствующие числам ряда (о) (п.
7), через
И2)(*), И2)(*) Vi2Hx) (о,)
а фундаментальные функции, отвечающие числам ряда (0), - через
И°(*), И'Ч*).........И<'>(х), ... (0.)
Совокупность рядов (Oi) и (01) составит, очевидно, полную систему
фундаментальных функций первого класса.
141
Положим
У Г (а) - 1
•?(*)=/i(*)+ г Уг(х). (29)
К
Приняв в расчет (28) и (281), убедимся, что функции >р(х) удовлетворяют
следующим условиям:
К / Р(х) у (x)Vr(x) dx = О,
\ (29.)
/ P(x)*(x)Vk(x)dx = ~ Vk(a) при кФг. а
Последнее равенство показывает, что для любой функции Vs(2) (s = 1,2,
.. ., т), взятой из ряда (a t),
/ р(х) *p(x)Vs2) (х) dx =0 (s = 1, 2.3,.. ., /и), (30)
а
а для любой функции ряда (/3,), за исключением Уг(х), если такая
принадлежит функциям этого ряда,
/ p(jc) *(jc)Vk( 1 \x)dx = - V$lHa) Ф 0 (*=1,2,3,...). (31)
a
Что же касается функции Vr(x), то, к какому бы из двух рядов (а,) или
()3i) она ни принадлежала, всегда
/ p(x)*p(x)Vr(x)dx = 0. (32)
а
12. Применим теперь алгоритм Шварца - Пуанкаре к последовательному
вычислению характеристических чисел и соответствующих им фундаментальных
функций, принадлежащих данной функции
р(х)у(х), (33)
определяемой равенством (29) (см. п. 30 гл. V и пп. 10-19 гл. VI).
Принимая в расчет теоремы пп. 33 - 34 гл. V и равенства (30), (31) и
(32), убеждаемся, что ни функция Уг(х) (известная уже) и ни одна из
функций ряда (at) не может принадлежать функции (33); наоборот, каждая из
функций ряда (/3,), за исключением известной функции Уг(х), если таковая
входит в состав этого ряда, непременно принадлежит функции (33).
Поэтому алгоритм Шварца - Пуанкаре, когда за исходное уравнение возьмем
уравнение вида
V "(*) + 1Хр(х) - </(*)] У(х) + р(х) *(лг) = 0, (33,)
приведет, как показано в гл. V, к последовательному вычислению всех чисел
ряда (0), за исключением уже известного числа \п если оно принадлежит
этому ряду, и не даст ни одного из чисел, входящих в состав ряда (а); при
этом последовательно определятся и все фундаментальные функции ряда (fit
) и только эти функции *).
*) За исключением уже известной функции Уг(х), если таковая оказалась бы
принадлежащей ряду (0, ).
142
13. Составим теперь функцию /2 (лЛ, удовлетворяющую тому же самому
дифференциальному уравнению
/а (х) - 4 (*)h(*) + р(х) V,(х) = 0, (34)
что и функция f\(x) п. 9, но следующим предельным условиям:
f2(b)-af2(a)-pf2(b)=l,
(35)
f'2 (?) - li\ (fl) + "/г (Ь) = 0.
Каковы бы ни были данные задачи р(х), q(х), а, Р и у, всегда найдем
единственную, вполне определенную функцию /2 (х) удовлетворяющую
поставленным условиям, как это следует из тех же самых соображений, какие
были указаны в п. 10.
Заменив в формулах (24) и (26), справедливых для всякой функции,
удовлетворяющей уравнению вида (34), функцию f\(х) через /2 (х) и приняв
во внимание условия (35), получим
f p(x)f2(x)Vr(x)dx=V,(b)+ 1,
а
X* / p{x)f2{x)Vk(x)dx= Vk{b) при кФг. а
VAb) +1
Положив затем/3(х) =/2(х) - ------------ К(х), получим функцию, удо-
X/-
влетворяющую таким условиям:
X, / p(x)f3(x)Vr(x)dx = 0, (36)
а
X* / Р(х)/3(х) Vk(х)dx = Vk(b) при к Фг.
а
Отсюда следует на основании (16) (п. 7), что для любой функции К5(2) (х)
ряда (а(), соответствующего ряду характеристических чисел ряда (а), за
исключением функции Vr(x), если бы таковая и оказалась принадлежащей ряду
(at), имеет место неравенство
/ р(х)/3(х)И,2>(х)</х*0. (37)
а
14. Возьмем какое-либо число п уже известных нам функций К*(,)(х) \к= 1,2
п),
по порядку от первой до п-й, ряда (0,) и составим функцию
ф(х)= /з(х)- ? /1*К*(,)(Х), (38)
*= I
ь ..
где Ак = / р(х)/3(х) К*' '(x)rfx. Приняв в расчет ортогональность и
143
нормальность фундаментальных функций, а также равенство (36) и (37), из
(38) выводим
/ р(х)ф(х)У^(х)(1х = 0 (*= 1,2 п) (39)
а
И
/ р(х) *(х)^<2)(*)<ЬФ0 (39 ,)
а
для любой функции У,(2)(х) ряда (а,), за исключением функции Уг(х), если
таковая оказывается принадлежащей этому ряду. Для функции же . Уг(х), к
какому бы из двух рядов (а,) или (0,) она ни принадлежала, всегда
/ р(х) ф(х)Уг(х)с1х = 0. (392)
а
15. Применим алгоритм Шварца - Пуанкаре к последовательному вычислению
характеристических чисел и им соответствующих фундаментальных функций,
принадлежащих функции
р(х)ф(х).
Приняв во внимание равенства (39), (39]) и (392) и повторив рассуждения
предыдущего пункта, убеждаемся, что при этом будут последовательно
получаться лишь числа ряда (а), модуль которых меньше I Х" I, и не
получится ни одного числа, принадлежащего ряду (0) ,ни числа (уже
известного) Лг, к какому бы из этих двух рядов оно ни принадлежало.
Так как все сказанное справедливо при каком угодно п, то, взяв п
достаточно большим, мы вычислим указанным способом какое угодно число
характеристических чисел ряда (а), а следовательно, и соответствующих им
фундаментальных функций ряда (а¦) (по порядку начиная с первой), за
