Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
исключением числа Хг и функции Уя(х),уже известных.
16. При помощи описанных выше операций мы найдем сначала некоторое число
Лг и соответствующую ему функцию Уг(х), затем последовательно все числа
Xi и им соответствующие функции У}1 '(х) и, наконец, все числа X* и
соответствующие функции У$ Нх) (за исключением уже известных числа Хг и
функции Vr(x)).
Совокупность всех найденных таким путем характеристических чисел дает
полную систему этих чисел, а совокупность всех отвечающих этим числам
функций - полную систему фундаментальных функций.
Отметим следующую особенность изложенного приема: он позволяет отдельно
вычислить все числа, которым соответствуют функции, обращающиеся в нуль
при х = а, и отдельно все те числа, соответствующие функции которых не
равны нулю при х = а.
Когда таким путем вычислены эти две группы характеристических чисел, из
которых составляется юс полная система, то сейчас же выделяются и все
те характеристические числа ХУ' (s = 1,2.../) (ряд (7) п. 7),
каждому из
которых отвечают по две различные фундаментальные функции; это суть те
числа, которые оказываются одинаковыми и в той и в другой из полученных
указанным способом двух групп, как уже сказано в конце п. 7.
144
Все нужные для такого вычисления действия сводятся к отысканию двух
независимых частных решений М|(х) и и2(х) линейного однородного уравнения
второго порядка
подчиненных условиям
М|(а)=1, м'|(а) = 0. М2(а) = 0, и2(а)= 1,
и к ряду квадратур.
17. Аналогичный прием с соответствующими изменениями применим и к
вычислению полной системы характеристических чисел и фундаментальных
функций второго класса. Разобьем, подобно предыдущему, все
характеристические числа полной системы на две группы чисел (а) и
(0) (см. п. 7).
В рассматриваемом случае числа первой группы (а) представляют собой
вещественные корни, общие для уравнений (10) (п. 3). Каждому числу этой
группы соответствует фундаментальная функция второго класса,
удовлетворяющая условиям
Ук(а)=Ук(Ь) = 0, УЦа)Ф0- (40)
каждому числу группы (0) отвечает фундаментальная функция, для которой
Ук(а)Ф 0. (41)
Совокупность рядов (а) и (0) составит полную систему характеристических
чисел для функций второго класса. Тс характеристические числа X'",
каждому из которых отвечают по две фундаментальные функции, войдут в
состав как ряда (а), так и ряда (0).
18. Подразумевая под/(х) какую-либо функцию, применим к уравнению (18)
(п. 8) метод Шварца - Пуанкаре при предельных условиях вида
У(Ь) = рУ(а), У'(Ь)= у У'(а) + тУ(а). (42)
Найдем некоторое определенное характеристическое число и ему
соответствующую фундаментальную функцию, которые обозначим, как и в п. 8
через Хг и Уг(х).
Составляем затем функцию ft(x) п. 9, причем для всякой функции Ук(х)
второго класса, взятой произвольно из их полной системы, но не равной
Уг(х) , получим равенства (22) и (23) (п. 9), из которых при помощи
условий (42) выводим для рассматриваемого Случая:
I P(x)fi(x) Ук(х)с1х =
U
= Ук(<1)[рГ\(Ь)-тМЬ)-/'1(а)\ - l/,(ft)-p/,(e)|. (43)
Р
*) Или уравнения Ин(х)- |(/(х) + ср(х)|И(*) = 0, где с есть
соответствующим образом выбранная положительная постоянная.
14S
Определим постоянные Ct и С2 в выражении )\ (х) (21) при помощи условий
/'.(*)- \ /'i(e)-T/,(e)= -j- .
Р Р
(43,)
/. Ф) - Р/. (в) = 0.
Рассуждая совершенно так же, как и для случая фундаментальных функций
первого класса, можем считать определитель этих уравнений отличным от
нуля. Получим вполне определенную функцию (д:), удовлетворяющую в силу
(43) условиям
X* } Р(*)/. (*) ^(.г)dx = Ук(а) (44)
а
при всяком к, не равном г .
Для случая к - г равенства (23), (25) и (43,) дают
Xf / p(x)ft (д:) Vr(x)dx = Уг(а) + 1. (45)
а
19. Придерживаясь тех же обозначений, что и в п. 11
разобьем все фундаментальные функции на две группы (а,) и (0,),
из которых первые удов-
летворяют условиям (40), вторые - условиям (41), и введем функцию
Уг(а) + 1
'P(-v) = /1 (*)------------- У г (*)•
X,-
К какому бы из двух рядов (а,) или (Р,) ни принадлежала функция Уг(х),
всегда будем иметь в силу (45),
/ р(х)<р(х)Уг(х)с1х = 0. (46)
а
Для всякой другой функции 1^2) (s = 1,2, ...,";) ряда (а,),
удовлетворяющий условиям (40), получим, приняв в расчет (44),
/ р(д:)у?(д:)1/:г(2)(д:)с/д: = 0, (47)
а
а для всякой функции У$1 * (д:) ряда (Pt), отличной от Уг(дг)0 будем
иметь, в силу (44) и (41),
/ р{х)${х)Укх){х)с1хФ0. (47,)
а
Если применим теперь алгоритм Шварца - Пуанкаре к уравнению (33 а) при
предельных условиях (42), то получим последовательно все чист ряда (Р) и
им соответствующие функции ряда (Pt), за исключением уже известной
функции Уг(х), если бы она оказалась в ряде (Pi), и только эти числа и
функции.
Ни одно из чисел ряда (а), а следовательно, и ни одна из функций ряда
(а,), при этом вычислении появиться не может в силу условий (47). Это
вытекает из тех же самых соображений, которые указаны в п. 12.
146
20. Составим теперь функцию /2 (дг), удовлетворяющую уравнению (34) (п.
