Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
13) и предельным условиям
П(Ь)~ 1 П(а)-тШ= I ,
Р Р
/а(*)-Р/а(<0=1, (48>
что согласно с предыдущим всегда возможно. Заменив в (43) /,(дг) через /2
(дг) и приняв в расчет (48), получим
ь Vk{ct)
** / Р (*) к (*) У к (*) dx =---
а р
для всякой фундаментальной функции второго класса, не равной Уг (дг). Для
этой последней тем же путем, что и в п. 18 получим следующее равенство:
ь У,'(а)
К / p{x))2{x)Vr(x)dx= 1 - --------- .
а р
Если положим затем
Р - У'Ла)
Ых)=Мх)- - ---- Уг(х),
р\г
то получим функцию, удовлетворяющую условиям
К S Р(х)Ых) Уг(х) dx = 0, (49)
а
X* / P(x)f3(x)Vk(x)dx = - при кФг. (49,)
а р
21. Возьмем теперь какое угодно число п, по порядку начиная с первой,
функций У^Нх) из ряда (0,) и составим функцию
Ф(х)=Ш- Z АкУЦ'\х), к= 1
Ак = I Р(х)/з(х) У&°(дс) dx.
Очевидно,
/ p(x)}p(x)yjil)(x)dx = 0 (А: = 1,2,3, ..., п)
а
и, на основании (40) и (49,),
/ р(х) ф{х) У?}(х) dx = - - ¦ Ф 0
а Хкр
для любой функции ряда (а,). Кроме того, в силу (49),
/ p(x)ф^x)Уr(x)dx = 0.
а
147
Три последние формулы показывают, что если мы применим алгоритм Шварца -
Пуанкаре к последовательному вычислению характеристических чисел и им
соответствующих фундаментальных функций второго класса, принадлежащих
функции р(х)ф(х), то получим все характеристические числа ряда (а),
модуль которых меньше I Х" I, не пропустив ни одного из них, и все
соответствующие функции ряда (at), за исключением уже известной функции
Vr(x), если бы она оказалась в ряде (<*i).
Увеличивая произвольно число п, мы вычислим таким путем последовательно
какое угодно число характеристических чисел ряда (а), не пропустив ни
одной из них (кроме уже известной функции Vr(x)), причем, ни одно из
чисел ряда (0), а следовательно и ни одна из функций ряда (Pi), появиться
не может.
Совокупность полученных характеристических чисел и фундаментальных
функций при помощи указанных операций, из которых каждая дает одно число
и одну ему соответствующую функцию, доставит полные системы и тех и
других.
Числа, одинаковые в рядах (а) и (fi), будут те, кахсдому из которых
соответствуют по две различные фундаментальные функции -, эти последние
будут найдены в соответствующих местах вычисляемых указанным способом
рядов функций (<*i) и (01).
Все замечания, сделанные в п. 16 относятся к рассматриваемому случаю
фундаментальных функций второго класса.
22. Задача о вычислении полной системы характеристических чисел и
фундаментальных функций значительно упрощается в различных частных
случаях. Так, если в условиях первого класса (19) a = 0, то, как указано
выше (п. 2), ни одна из фундаментальных функций не может обратиться в
нуль при х = а и каждому из характеристических чисел соответствует одна и
только одна фундаментальная функция (п. 5). В этом случае равенств (291)
п. 11 заключаем, что любая функция Vk(x) из их полной системы
удовлетворяет условию
/ P(x)<p(x)Vk(dx)* О,
а
за исключением функции Vr(x), которая удовлетворяет первому из равенств
(29t).
Отсюда следует, что в рассматриваемом случае все функции полной системы,
за исключением уже известной функции Vr(x), принадлежат одной и той же
функции
р(х)*р(х), (33)
где ip(x) есть функция, определяемая уравнениями (29), (20) и (21), а все
характеристические числа полной системы, за исключением, быть может, \г,
принадлежат ряду (0).
Поэтому, зная число \г и ему соответствующую функцию Vr(x), стоит
применить алгоритм Шварца - Пуанкаре один раз к последовательному
вычислению характеристических чисел и фундаментальных функций,
принадлежащих функции (33), чтобы найти систему тех и других.
23. Столь же просто решается задача и для случая фундаментальных функций
трех предельных классов (п. 7 гл. VI).
148
Пусть, например, Кк(эг) (Л = 1, 2, 3, ...) суть функции второго
предельного класса, определяемые условиями (13) и (15) (п. 7 гл. VI). В
этом случае равенства (22), (23) и (25), справедливые для всяких
фундаментальных функций, дают
X* / P(x)fi(a)Vk(x)dx = а
= -Ук00 [/', ОО - 7/,00] - /,(*) У'к(Ь), кФг,
и
К I p(x)fi(x)Vr(x)dx = а
= - Уг(<*) [ /',ОО - lf\ОО] -/, (b) V'k(*) + 1,
где, напомним, /,(х) есть какое-либо решение уравнения (20). Подчинив это
решение условиям
/; 00 - 7/, 00 = о, /,(*)= 1, (50)
что на основании предыдущего всегда возможно (пп. 21-25 гл. VI), получим
для любой фундаментальной функции рассматриваемого класса, не равной
Кг(х),
X* S p(x)Mx)Vk(x)dx = -VUb),
а
т.е.
fp(x)fi(x)Vk(x)dx*0 при кФг, (51)
а
ибо V'k(b) не может обращаться в нуль.
Для функции же Vr(x) будем иметь
* 1 - V'r(b)
I p(x)Mx)Vr(x)dx . (51,)
а Аг
Составим теперь функцию
V'rib) - 1
*00 = fi(x) + -^---------- Уг(х). (52)
К
Приняв в расчет (51) и (51,), получаем
/ р(х)<р(х)Ук(х)(1хФ0 при кФг, f p(x)<p(x)Vr(x)dx = 0.
а а
Эти равенства показывают, что все функции Vk(x) рассматриваемого класса,
за исключением Vr(x), принадлежат функции р(х)у(х), где у (х)
определяется формулой (52),д/,(х) есть функция, вполне определяемая
