Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
р = lim F=J_ ¦
к - °° у/ Wk
Так как интегралы Шварца всегда удовлетворяют неравенствам (43) п. 14 гл.
V, то на основании этих неравенств
ly/Wj, (6)
где, напомним,
W_i = / p(x)R2(x)dx, W0= ? p(x)vl(x)dx,
159
а и0(лг) есть функция, удовлетворяющая уравнению Uo(x) - t/(x) и0(х) +
p(x)R(x) = О
(7)
и предельным условиям ?(До) = 0, L,(uo) = 0.
Так как по предыдущему р должно быть больше любого положительного числа
А, сколь бы велико оно ни было, то в силу (6) должно быть
V^TT/>/W> а. т.е.
f p{x)R\x)dx
W0 < --------------- < е,
А
где е есть наперед заданное положительное число, ибо числитель правой
части этого неравенства есть конечное положительное число либо нуль.
Это неравенство показывает, что
J p(x)vUx)dx = 0,
а
а так как функция р(х) непрерывна и положительна *), а и0(х) есть функция
необходимо непрерывная, то v0(x) = 0 тождественно. Поэтому, в силу (7), R
(дг) = 0, т.е., на основании (4),
/•(*)= 2 AkVk(x).
к = 1
Таким образом, приходим к следующей теореме :
Ряд типа Фурье
2 AkVk(x), Ак = / p{x)f(x)Vk(x)dx, (8)
к= 1 а
представляет разложение непрерывной функции f(x) по фундаментальным
функциям Vk (х), к какому бы классу эти функции ни принадлежали, всякий
раз, когда он сходится равномерно в данном промежутке [а, Ь\.
4. Будем теперь подразумевать под /(х) функцию, имеющую в промежутке
[а, Ъ\ производные двух первых порядков и удовлетворяющую тем же
предельным условиям
L{f) = 0, ?,(/) = 0, (9)
что и фундаментальные функции Vk (х). Приняв в расчет дифференциальные
уравнения, которым удовлетворяют фундаментальные функции Vk (х), получаем
Ak = / p(x)f(x)Vk(x)dx = - 1 J f(x)(q(x) Vk(x) - V'l(x))dx, a A k a
*) Большая часть установленных ннжс результатов относится к случаю
положительных р(х). (Прим. ред.)
160
откуда интегрированием по частям выводим
Ак \f(x)Vl(x)-f'(x)Vk{x)]b+ f P(x)0WVk(x)dx.
Хк L Je А* а
где
.. . q(x)f(x)-f"(x)
в(х)=------------------ .
Р(х)
Так как Дх) удовлетворяет условиям (9), то ^/(х)^*(х) - f'(x)Vk (x)J = =
0 и, следовательно, Ак = Вк/Хк, где положено
В к = / P(x)e(x)Vk(x)dx.
а
Ряд (8) представится в виде оо оо вк Ук(х)
2 AkVk{x)= 2 -* ¦ (Ю)
k=l к=1 А*
5. Напишем уравнение фундаментальных функций так: V'k(x)-q(x)Vk(x) +
\kp&) Р*(х) = 0.
Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (29) п. 11 гл. V, только
функция р(х)и*_! (х) заменена здесь функцией Х*р(х)^*(х). Кроме того,
функция Ук (х) удовлетворяет предельным условиям
L(yk) = 0, L,(yk) = 0
того же самого вида, что и функция ик (х) только что упомянутого п. 11
гл. V (см. равенство (291) п. 11 гл. V). Поэтому, заменив в равенстве
(37)
п. 12 гл. V vk _ | (х) через X* Ук(х), можем писать, сохраняя
обозначения
этого пункта,
У к (х) = X* {и, (х) Nk (х) - и2 (х) Мк (х) +
+ ы,(*)Л(* (*)-<*(*) А#* (А)} (11)
или, в силу (38^ (п. 13 гл. V),
Ук(х) = Хк /рШФ(х,ЮУкШ^. (12)
а
Ь
Положив С*(х) = / р(%)ф(х, ?) Ук(?)d% и приняв в расчет (10), получим
2 АкУк(х)= 2 ВкСк(х). (13)
*= 1 к=1
6. Сравним ряд (13) со следующим:
2 \Вк\\Ск (х) I. (14)
к= 1
161
Имеем \Вк il С\ (jc) | < - (В\ + С*(дг)). На основании теоремы п. 2 гл. 1
заключаем, что ряды .
? В\ и 2 С\(х)
к=I *=1
суть ряды сходящиеся и второй из них сходится при всяком х, причем, в
силу неравенства (8) того же п. 2 гл. 1,
? С1(х)< 5 р(х)ф2(х, ?)</?.
*= I а
Так как ф(х, ?) есть функция непрерывная при х из [а, Ь\и | из \а, 6]. то
I ф(х, |)| < М2, где М есть конечное число. Поэтому
? CKxX/tfQ2, Q2 - S p(x)dx, (15)
к = 1 а
Из сказанного следует, что ряд (14) сходится при всяком х, взятом в
промежутке [а, Ь\.
Обозначив через R"(x) остаточный член этого ряда, можем писать
/?"(*)= 2 1?*1 1С*(дг)1,
* = п + I
откуда по лемме Коши (неравенство (23) п. 5 гл. 1)
/?"(*)< s/~l Bl s/~ 2 СЦх),
* = и + I /с = л+ |
т.е., в силу (15),
Rn(x)<MQ У 2 В\. (16)
* = н+ I
ОО
Приняв опять во внимание то обстоятельство, что числовой ряд 2 В\ есть
* = i
ряд сходящийся, можем утверждать, что при всяком п >п0, где п0 есть
некоторое достаточно большое число, имеет место неравенство
е2
2 Вь < TTTZi ПРИ ">"0.
Ас = л + I MQ
где е - наперед заданное положительное число.
Это неравенство и (16) приводят к следующему:
/?"(*)< е при п>п0.
Отсюда следует, что ряд (14) сходится равномерно при всяком х,лежащем в
промежутке \а, Ь\. Отсюда же на основании известной теоремы Коши
заключаем, что ряд (13) сходится абсолютно и равномерно в промежутке \а,
6]. Отсюда при помощи теоремы п. 3 выводим следующую:
Всякая функция /'(х), имеющая производные первых двух порядков, из
которых последняя только интегрируема в [а, Ь\, и удовлетворяющая пре-
162
дельным условиям (9), разлагается во всем промежутке [а, Ь\ в абсолютно и
равномерно сходящийся ряд типа Фурье, расположенный по фундаментальным
функциям Vk (х), к какому бы классу эти функции ни принадлежали.
7. Итак, для всякой функции Дх), подчиненной условиям только что
доказанной теоремы, имеет место следующее равномерное разложение
/(х)= 2 AkVk(x),
