Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
уравнениями (20) и (50).
Применив алгоритм Шварца - Пуанкаре к последовательному вычислению
фундаментальных функций второго предельного класса и их
характеристических чисел, принадлежащих функции р(х)*р(х), найдем полную
систему этих чисел и функций (включая сюда известную функцию Vr(x) ).
149
24. Совершенно так же докажем, что все фундаментальные функции первого
предельного класса (см. уравнения (13) и (14) п. 7 гл. VI), не считая
одной из них Yr(x), принимаемой за известную, принадлежат функции
/ V'r(b) -1 \
р(х) ф(х) = ^ /, (х) + --------- Yr(x)J Р(х), (53)
где /,(х) есть решение уравнения (20), вполне определяемое предельными
условиями
/,(<0 = 0, /,(й)=1*),
а все фундаментальные функции третьего класса (см. уравнения (13) и (16)
п. 7 гл. VI) принадлежат функции
/ У'г(а) +1 \
р(х) ф(х) = р(х) f /, (х)------------------------------------------------
------------- Vr(x) J ,
где /, (х) есть функция, вполне определяемая уравнением (20) и условиями
(53,) f\(b)-PMb) = 0, /,(а)= 1**).
Поэтому алгоритм Шварца - Пуанкаре, примененный к вычислению
характеристических чисел и им соответствующих фундаментальных функций,
принадлежащих функции (53), даст полную систему этих чисел и функций
первого, а тот же алгоритм, примененный к функции (53,), определит полную
систему чисел и функций второго предельного класса.
ГЛАВА VIII
Значение условий ортогональности в общей теории фундаментальных функций.
Неприложимость этой теории к общему случаю, когда условия ортогональности
не соблюдаются.
Различные частные примеры
1. В конце гл. IV было указано, что предельные условия, которым должны
подчиняться искомые фундаментальные функции Yk(x), в самом общем случае
распадаются на два класса:
1° V'k(b)?aVk(a) + fSVk(b),
Y'k(a)=7Yk(a) + dVk(b). 0)
*) Таким же свойством обладает и функция
1 + У'Ао)
*(*)= /,-(*) -------2- Уг(х),
где/, (х) есть решение уравнения (20), определяемое условиями/, (Ь) =
0./, (а) = 1.
**) Функцию ф(х) можно заменить также следующей:
1 + УЛЬ)
<Р(х) = /t (х)--------Кг(х),
где/, (х) есть функция, определяемая тем же уравнением (20) и условиями
/',(*) --?/,(*)= I. /,(*) = 0.
150
2°. Vk{b) = pVk{a),
Vi{b) = aVk{a) + rVk(b).
Во всех последующих исследованиях, начиная с гл. V, мы ограничились
предположением, что для условий первого класса
а + б = 0, (3)
а для условий второго класса
ра - 1=0. (4)
При соблюдении этих равенств фундаментальные функции обоих классов
оказываются ортогональными по отношению к характеристической функции
р(х), входящей в основное дифференциальное уравнение
У'к(х)+ [\kp(x)-q(x)] Vk(x) = 0, (5)
которому удовлетворяют все фундаментальные функции Vk (х).
Равенства (3) и (4), вытекающие из условия (1) п. 1 гл. V, мы будем также
называть условиями ортогональности. Эти условия или равносильное им
равенство ь
/ Р(х) Vm (х) V" (х) dx = 0 при тФп
а
играют существенную роль при выводе всех теорем предыдущих глав.
Спрашивается, возможно ли распространить предыдущую теорию на самый общий
случай, когда в условиях первого класса постоянная б не равна - а, а
произведение ра в условиях второго класса не равно единице?
2. Само собой разумеется, что соображения пп. 4 - 7 предыдущей главы
остаются справедливыми и для общего случая. Интеграл уравнения (5),
удовлетворяющий условиям (1) или (2), всегда представится в виде
К*(JC) = u ,(x, X*) + Cj*>w2(x, Xk). (6)
где С/ ** и - постоянные, определяемые для функций первого класса
уравнениями
С}Л) [w',(6, X*) -Pw,(b, Хк)-а] +Cik) [н4(б, \k)-Pw2(b, X*)] =0, -С\к) [7
+ 8wi(*.X*)] +Cj*> [1 -Sw2(b,\k)\ =0, (7)
а для функций второго класса - уравнениями С(*> [w,(ft.X*)-p]
+Cik)w2(h.\k) = 0,
С[к) [w\(b,\k)-T] +Cik) [w'2(b,\k)-o] =0. ( }
которые при соблюдении условий (3) и (4) совпадают соответственно с
уравнениями (11) п. 3 и (20) п. 8 гл. V.
Останавливаясь на предположении, что не все коэффициенты при С\к^ и в
уравнениях (7) и (8) равны нулю, приходим к заключению, что искомые
функции возможны лишь для таких значений параметра X, которые служат
корнями уравнения
<о(Х) = и-', (б, X) - J3w, (Ь, X) - (а - б) + yw'2(Ь, X) + (сгб - 0у)
н>2(Л, X) = 0
(9)
151
в случае предельных условии первого класса и корнями уравнения
а;(Х) = 1 + ро - awx{b, X) - pw2 (b, X) + rw2(b, X) = 0 (10)
в случае предельных условий второго класса.
Если со(Х) не есть тождественный нуль при всяком X, то уравнения (9) и
(10) имеют бесчисленное множество корней, каждому из которых будет
соответствовать функция Vk (дг), изображаемая равенством (6), каковы бы
ни были постоянные а, 0, у, 5 или р, окт.
Мы показали, что при соблюдении условий ортогональности (3) и (4) од(Х)
не может равняться нулю тождественно и что уравнения (9) и (10) имеют
бесчисленное множество вещественных корней, которым соответствует в
каждом случае определенная совокупность вещественных функций Vk(x).
Покажем, что эти существенные для всей теории положения необходимо
имеющие место при соблюдении условий ортогональности, могут оказаться
