Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
предельные условия, определяющие задачу, обладают некоторыми
особенностями и, в частности, удовлетворяют условиям ортогональности, и
удалось подметить те общие начала, которые лежат в основе зтих вопросов,
и развить их в общую теорию, одинаково важную и для чистой математики, и
для физики.
Предыдущие немногочисленные и простейшие примеры достаточно ясно
показывают, с каким разнообразием случаев и трудностями пришлось бы
столкнуться первоначальным исследователям, если бы их внимание, всегда
направляемое соображениями чисто физического характера, не
сосредоточилось вследствие зтого как раз на тех задачах, где некоторые
упрощающие вопрос условия и, в частности, условия ортогональности
оказались сами собой выполненными.
Из зтих же примеров явствует, что те незначительные ограничения, которые
мы наложили с самого начала на постоянные а, /3, т и б или р, а и т
(равенства (3) и (4) ), не носят формального характера, лишь упрощающего
изложение, а лежат в самой сущности теории, общие заключения которой
перестают быть справедливыми при устранении зтих ограничений.
*) То есть для соответствующего корня функции и>(\).
157
ГЛАВА IX
Задача о разложении произвольных функций в ряды по фундаментальным
функциям первого и второго классов. Ряды, составленные нз этих функций по
закону Фурье, и их основное свойство.
Один частный внд функции /(*), разлагающейся в равномерно сходящийся ряд
по фундаментальным функциям.
Вытекающая отсюда на основании общих теорем главы II
абсолютная замкнутость всякой системы фундаментальных функций.
Общая теорема о разложимости всякой функции в ряд типа Фурье по каким
угодно функциям, образующим ортогональную н абсолютно замкнутую систему,
когда квадратичная погрешность от производного ряда не превосходит
некоторого данного числа.
Применение этой теоремы к случаю фундаментальных функций.
Общая теорема о разложении всякой функции, удовлетворяющей условию Коши,
в равномерно сходящиеся ряды по фундаментальным функциям
1. Пусть Vk{x) (к =1,2,3, ...) есть полная система каких-либо
фундаментальных функций (первого, второго или трех предельных классов),
ортогональная и нормальная. Предположим, что некоторая функция f(x)
разлагается в бесконечный ряд по функциям Vk (*), т.е.
Д*)= ? AkVk(x), (1)
*= I
где А к суть некоторые постоянные.
Предположим, что ряд правой части этого равенства сходится равномерно.
Умножая (1) на р(х) Vk(x)dx и интегрируя результат в пределах от а до Ь,
получим
Ак= / p(x)f(x)Vk(x)dx (*=1,2,3,...). (2)
а
Таким образом, если возможно разложение какой-либо функции Дх) в
равномерно сходящийся ряд вида (1), то постоянные Ак (коэффициенты
разложения) должны иметь только что указанный вид.
Всякий ряд вида (1), коэффициенты которого определяются равенствами (2),
мы будем называть рядом, составленным из фундаментальных функций по
закону Фурье, или просто рядом типа Фурье, а коэффициенты Ак (2) -
коэффициентами Фурье.
2. Первая из задач, задача (А), поставленных в п. 15 гл. IV, разрешена во
всей полноте предыдущими исследованиями. Нам предстоит теперь перейти к
решению второй из указанных там задач, задачи (В), о разложении
произвольных функций в ряды типа Фурье по фундаментальным функциям. При
этом мы будем рассматривать преимущественно разложения равномерно
сходящиеся, как имеющие особое значение по своим приложениям в
математической физике.
158
Итак, предположим, что ряд 2 AkVk{x) сходится равномерно в про-
к = I
межутке [a,h\, так что сумма его представляет некоторую непрерывную
функцию от дг в атом промежутке. Предположим, что функция } {х)
непрерывна в промежутке \а, Ь\, и положим
/(*) = 2 Ак Ук(х) + р"(х). (3)
к = 1
где и - какое-либо целое число. При сделанных допущениях функция р"(дг)
остается непрерывной при всяком п и при беспредельном возрастании п
стремится к некоторому определенному пределу который обозначим через R
(дг).
Можем писать
/(*) = 2 AkVk(x)+R(x). (4)
к = 1
Из этого равенства сейчас же следует, что непрерывная функция R(x)
удовлетворяет следующему условию:
f p(x)R(x)Vk(x)dx = 0 (5)
а
при всяком целом числе к.
3. Применим метод Шварца - Пуанкаре к определению функции У(х, X),
удовлетворяющей уравнению
У"(х, X) + [Хр(дг) - </(*)] У(х, \) +p(x)R(x) = О
и предельным условиям /.(У) = О, L, (У) = 0 того самого вида, которым
удовлетворяют и рассматриваемые нами фундаментальные функции Ук(х). Если
мы примем в расчет равенства (5) и теорему п. 36 гл. V, то придем к
заключению, что искомая функция У(х, X) должна оставаться голоморфной
внутри круга любого радиуса = I Х" _, I, каково бы ни было число п, а так
как числа 1к возрастают беспредельно с возрастанием значка к (см. теорему
п. 39 гл. V), то У(х, X) должна быть голоморфной во.всей плоскости
переменного X.
Придерживаясь обозначений гл. V, будем подразумевать под Wk интегралы
Шварца, соответствующие функции p(x)R(x). На основании теоремы п. 23 гл-V
радиус р голоморфности функции У(х, X) точно равен
