Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
несправедливыми для общего случая, кдгда условия (3) и (4) не
соблюдаются.
3. Для выяснения дела достаточно будет рассмотреть несколько
простейших частных примеров, не входя в соображения общего характера.
Применим только что указанный в предыдущем пункте прием к определению
фундаментальных функций, удовлетворяющих уравнению
К"(х) + Х2К(х) = 0 (11)
и предельным условиям
К(я)-- К(0) = 0, К'(я) + К'(0) = 0. (12)
Мы имеем здесь частный случай уравнений (5) и (2), когда
р(х) = 1, q(x) = 0, а = 0, Ь = я,
р= 1, о - - 1, т = 0,
(13)
причем ро - 1 =-2, т.е. условие ортогональности (4) не соблюдается.
В данном случае
sin Хх ..
vv,(x, X) = cosXx, vv2(x,X) =--- .
Л
Подставив (13) и (14) в выражение о;(X) (10), убеждаемся что в данном
случае со(Х) есть тождественный нуль. Уравнения (8) приводятся к одно-
... 1 - cos тгX t l \
му и дают С\ ' ----------------- С\ , после чего равенство (6)
доставит
X sin 7гХ
1 - cos 7гХ Хя sin Хх
К(х) = cos Хх +-------------- sin Хх = cos Хх + tg -- --- .
X sin яХ 2 X
т.е. определенную (не равную нулю) функцию при всяком X, не равном 1, 3,
5, ..., удовлетворяющую уравнению (11) и условиям (12). За такую функцию
можем принять также
К(х) = cos X (х - я/2),
которая будет удовлетворять всем поставленным требованиям при всяком X.
152
4. Для другого примера будем искать интеграл уравнения (11) при следующих
предельных условиях:
У(тг) = 0, У(п)~ К(0) = 0. (15)
Опять имеем случай предельных условий второго класса, когда р = 0, а = О,
т = 1, причем опять не соблюдается условие (4).
Уравнение (10) принимает вид (при помощи (14))
sin Хтг
оо(Х) = 1 + ------- =0.
X
Это уравнение не имеет ни одного вещественного корня.
5. В гл. V было доказано, что все характеристические числа служат
простыми вещественными полюсами мероморфной относительно X функции V(x,
X), удовлетворяющей уравнению
У "(.х, X) + [Хр(х) - Дх)] У(х) + / = 0
и предельным условиям вида (1) или (2), а интегральные вычеты этих
полюсов пропорциональны соответствующим фундаментальным функциям. Это
основное для всей теории предложение безусловно справедливо лишь при
соблюдении условий ортогональности и, вообще говоря, не будет иметь
места, коль скоро эти последние условия не выполняются.
Так, например, будем искать интеграл уравнения
У "(х, X) + X2 У(х, X) + f{x) = 0, (16)
подчиненный условиям (12). Общий интеграл уравнения (16) имеет вид
sin Хх
V(x. X) = С, cos Хх + С2 ------ + r(x, X), (17)
X
где
cos Хх х sin X* х
г(х, Х)= / / (х) sin Хх dx - - / Дх) cos Хх dx. (171)
X о X о
Подставив (17) и (17i) в условия (12), получим следующие уравнения,
которым должны удовлетворять постоянные С\ и С2:
sin Хтг cos Хтг sin Хтг
Cj (cos Хтг - 1) + С2 ----- + В - - /4=0,
XX X
- Ci X sin Хтг + C2(cos Хтг + 1) - sin ХтгВ - cos Хть4 = 0,
где
(18)
А = J Дх) cos Хх dx, В= / /(x)sin Хх Jx. (19)
о о
Уравнения (18), вообще говоря, несовместимы. Если же функция /(х)
удовлетворяет условию
0(Х) = sin Хтг/? + (cos Хтг - \)А =0, (20)
то одно из них будет следствием другого.
153
Первая часть равенства (20) есть, вообще говоря, целая трансцендентная
функция от X, вид которой зависит от заданной функции /(дг), причем может
случиться, что для некоторых из этих функций 0(Х) обратится в
тождественный нуль, для других 0(Х) будет отлично от нуля.
В первом случае одно из уравнений (18) доставит выражение одной из
постоянных Ct и С2 через другую, которая останется,вообще говоря,
произвольной.. Равенство(17)доставит два различных решения поставленной
задачи.
Во втором случае не может существовать функции V(x, X) при неопределенном
X, удовлетворяющей уравнению (16) и предельным условиям
(12). Такие функции оказываются при этом возможными лишь для отдельных
значений X, которые являются корнями целой трансцендентной функции 0(Х).
6. Положим для примера Дх) = 1. Имеем
sin Хя 1 - cos Хя
Л =-------- , В= ------------- .
X X
В данном случае, очевидно, 0(Х) = 0 тождественно.
Первое из уравнений (18) дает
ctg (Хя/2) 1
Cl " С 2 ------------ - -г ,
X X2
вследствие чего получаем, по формуле (17),
sin Хх + ctg (Хя/2) cos Хх 1
~2
Одним из решений задачи будет функция V(x, X) = - 1 /X2. Это есть меро-
морфная функция от X, имеющая единственный полюс X = 0 и притом второй
кратности. Кроме этого решения существует и другое, независимое от него и
получающееся из (21) при С2, не равном нулю. Один из полюсов этого
другого решения также равен нулю, и кратность его также равна двум.
Подобные же результаты получим для функций Дх) = cosx, sin х и т.п.
7. Положим затем Дх) = х. В этом случае
я sin Хя cos Хя - 1
У(Х. Х) = С2 ----------------------;. (21)
Г х cos Хх dx = о X X
2
л л cos Хя sin Хя
В = Г х sin Хх dx = - ------------------------- + ---
о X X2
и, в силу (20),
4 Хя
0 (X) = - sin - X2 2
( Хя Хя Хя \
I sin - - - cos - I = 0.
\ 2 2 2 )
Получается уравнение, имеющее бесчисленное множество вещественных корней
ХА = 2к (* = 0, 1.2,3,. . ;) и бесчисленное множество комплексных корней.
