Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
последних уравнений, то числа ряда (7) составляют лишь часть чисел ряда
(а) и каждое из чисел (7) непременно войдет в состав ряда (а). Числам
ряда (7), входящим в состав ряда (а), будет соответствовать та из двух
фундаментальных функций, которая удовлетворяет условиям (16). Другая
фундаментальная функция, принадлежащая тому же числу ряда (7), непременно
будет заключаться в ряде функций, соответствующих числам (0), ибо она
должна удовлетворять условию (17). Поэтому числа (7) войдут по одному
разу и в состав чисел (0), причем каждому числу этого ряда, так же как и
каждому числу ряда (а), будет соответствовать одна и только одна
фундаментальная функция.
Если мы каким бы то ни было способом найдем все числа ряда (а) и все
числа ряда (0), то совокупность этих чисел даст полную систему
характеристических чисел, а числа, одинаковые в том и другом из этих
рядов (а) и (0), дадут все числа ряда (7), т.е. те характеристические
числа, каждому из которых соответствуют по две линейно независимые
фундаментальные функции (первого или второго класса).
Покажем, что метод Шварца - Пуанкаре дает алгоритм для последовательного
вычисления всех чисел рядов (а) и (0), а следовательно, и всех
характеристических чисел их полной системы, причем сравнением чисел,
получаемых таким путем в рядах (а) и (0), отделятся сами собой и числа
(7), как равные между собой.
8. Будем теперь рассматривать отдельно фундаментальные функции первого
и второго классов.
Возьмем какую-либо определенную функцию /(х) и применим к уравнению
при предельных условиях первого класса V'(b)-aV(a)-p^(b) = 0,
V'(a)-yV(a) + aV(b) = 0 (19)
метод Шварца - Пуанкаре, изложенный в гл. V и VI.
Найдем модуль /г некоторого характеристического числа Хг, где г
обозначает целое число, по формуле
У"(х) + [Хр(х) - (/(х)] V(x) + f(x) = 0
(18)
/,. = I Xr I = lim
V
где W*, напомним, суть интегралы Шварца. Определение знака Хг, когда для
характеристических чисел возможны отрицательные значения, можно
достигнуть непосредственной подстановкой найденного числа в уравнение
характеристических чисел од (А) = 0, что, теоретически говоря, не
представляет затруднений.
Интегральный вычет, соответствующий простому полюсу Аг, мероморфной
функции У(х, А), определяемой условиями (18) и (19), доставит
соответствующую числу \г фундаментальную функцию Уг(х).
9. Найдя таким путем одну какую-либо фундаментальную функцию первого
класса Уг(х), составим функцию /, (дс), удовлетворяющую дифференциальному
уравнению
/"(*) - </(•*)/i (*) +Р(х) Уг(х) = 0. (20)
Общий интеграл этого уравнения при помощи частных решений и , (дг) и и2
(дг) соответствующего ему однородного уравнения представится в виде
/, (дг) = С, и, (дг) + С2 и2 (х) + г(х), ^ ^ ^
г(х) = и{(х) f р{х)и2(х) Vr(x)dx - и2(х) f р(х)иt(x) Vr(x)dx.
а а
Пусть Vk(x) - какая-либо фундаментальная функция, взятая из их полной
системы и отличная от Уг(х) (к Ф г). Умножив (20) на Vk(x)dx и
проинтегрировав результат в пределах от а до й, получим
f /','(х) Vk (дг) dx - f q (дг)/, (дг) Vk (х) dx = 0, (22)
а а
ибо, в силу ортогональности фундаментальных функций,
/ Р(х) Ук (дг) Уг(х) dx = 0 при кФ г.
а
Так как
f f"(x) yk(x)dx = (1\(х)Ук(х)-Мх)УЦх)) Г +f fx(x)Vi{x)dx.
a \ a a
то в силу уравнения (1) (п. 1) при всяком к S f!'(x)Vk(x)dx - f
q(x)J\(x)yk(x)dx +
а а
+ А* / />(*)/,(х)Ук(х)dx = (/',(х)Ук(х) - /,(х)У1 (*)) IЬ . (23)
а I а
Отсюда при помощи (22) и условий (2) (п. 1) выводим
X* f p(x)ft{x)Vk(дг) dx=VkОЬ) [/',(й) -
а
- а/, (а) -13/, (й)] - Ук (а) [ /', (а) - т/, (а) + а/, (й)] (24)
- равенство, справедливое при всяком к, не равном г. Умножаем теперь 140
(20) на Vr(x)dx и интегрируем от а до Ь. Получаем
/ f"(x)Vr(x)dx - f q{x))\{x)Vr{x)dx + 1= 0, (25)
а а
Ь
ибо / p{x)V;(x)dx = 1. Полагая в (23) к = г и принимая в расчет равенство
а
(25),находим
X, f p(x)Mx)Vr(x)dx = 1 + Vr(b) \f\{b) -
a
- "/. (a) - 0/i (*)j - Vr(a) [ (a) - yft (a) + о/, (/>)]. (26)
10. Определим постоянные Сt и С2 выражения (21) при помощи следующих
уравнений:
f \ (b) - aft (а) - 0/', (6) = 0,
А(Р) - у/,(а) + о/,(*)=!.
Определитель этой системы линейных относительно Сх и С2 уравнений равен,
очевидно, ы(0). Не нарушая общности задачи, можем считать, что о>(0) Ф 0.
В самом деле, если бы оказалось, что при данных р(х), (/(х), а, 0. у
о>(0) обращается в нуль, то при помощи сдвига шкалы характеристических
чисел (см. ин. 10 - 19 гл. VI) мы всегда можем перейти от уравнения (18)
к уравнению
V"(x)+ Iдр(х)-</,(*Й У(х)+ /=0.
где, напомним, д = X + с, </, (x) = q(x) +ср(х), и соответственно от
уравнения (20) к уравнению
/'"(•*) ~Я\{х))\{х) +р(х)ИДх) = 0,
выбрав постоянную с так, что определитель J2 (0) системы (27) будет
наверное отличен от нуля.
Таким образом, можем утверждать, что уравнения (27) всегда дадут
определенные и единственные значения для Сх и С,. Получим определенную
функцию )\ (х), для которой в силу (24) и (26) будем иметь
X, / p{x)fx{x)Vr{x)dx= 1 - И,(а), (28)
