Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
непременно принадлежит ряду фундаментальных функций, соответствующих
(принадлежащих) функции / (дг).
106
34. Допустим теперь, наоборот, что функция /(х) удовлетворяет условию
ff(x)Vk(x)dx = 0. (104)
а
Равенство (102) обращается в такое:
; р (х) W (jc,X) Vk (х) dx = 0. (105)
СО(Л) а
Здесь возможны два случая: либо X* есть простая точка функции V (х, X)
причем необходимо И^х.Х*) = 0, либо полюс функции К(х,Х).
Последний случай возможен лишь тогда, когда числу X* отвечают две
различные фундаментальные функции: взятая нами Vk(x) и другая, отличная
от нее, которая при сделанных нами обозначениях непременно
будет равна одной из рядом стоящих с ней функций в ряде
(100), т.е.
К*_,(х), либо Ук+{ (х).
Очевидно, что при соблюдении условия (104) функция W(x, X) для Х = Х* не
может обратиться в функцию, пропорциональную Н*(х), так как при этом
правая часть равенства (105) обращается в
-7^4 bfp(.x)Vl(x)dx*),
CO (X*) а
что равняться нулю не может.
Следовательно, если/(х) удовлетворяет условию (104), то при зна-чёнии X,
равном X*, если это значение X и служит полюсом мероморфной функции И(х,
X), то соответствующий ему интегральный вычет (т.е. значение W(х, X) при
X = \к) необходимо равен либо С* _ f К* _ t (х), либо Ск+1 Vk+, (х) и ни
в коем случае не может равняться Ск Vk (х).
Отсюда выводим следующую теорему:
Если функция /(х) удовлетворяет условию
f fix) Vk (х) dx = 0, а
где Vk(x) есть какая-либо из функций их полного ряда (100), то эта
функция наверное не входит в состав ряда фундаментальных функций,
принадлежащих данной функции f (х).
35. Сопоставляя сказанное в предыдущем пункте с теоремой п. 33, получаем,
как прямое следствие, еще следующее предложение:
Если число X* есть простая точка функции К(х, X), удовлетворяющей
уравнению (с) и предельным условиям (а) или (в), то функция /(х)
непременно удовлетворяет условию
ff(x)Vk(x)dx = 0, а
где Vк(х) есть фундаментальная функция, соответствующая характерисл и-
ческому числу X*.
*) Ск есть некоторый множитель пропорциональности, не равный нулю.
107
36. Возьмем первые п функций из их полной системы и предположим, что
функция Дх), фигурирующая в уравнении (с), удовлетворяет п условиям
ff(x)Vi(x)dx = 0, f/(x)V2(x)dx = 0.......... f f(x) V"(x) dx = 0. (106)
a a a
Могут представиться два случая:
1°. X*, где к есть одно из чисел от 1 до п, есть число, которому
соответствует только одна функция ^(х). В этом случае, так как /(х) удов-
ft
летворяет условию / Дх) Vk(x) dx = 0, число X* есть простая точка меро-
а
морфной функции К(х,Х), как указано в п. 34.
2°. X* есть число, которому соответствуют две различные фундаментальные
функции. В этом случае в ряде (93), представляющем полную систему
характеристических чисел, число, предшествующее X* или следующее за ним,
т.е. X*_t или Х*+1, равно X*. Чтобы остановиться на чем-нибудь
определенном, допустим, что X* = Х*+1. При этом в силу условий (106) и
этого равенства будет иметь при всяком к от 1 дол-1:
~ТГГ fP(x) H'Cjc.X) Vk(x) dx = 0,
СО ^ а
fp(x) W(х.Х) Vk+, (х)dx = 0.
СО (X) a
Допустим, что X* есть полюс функции К(х,Х). В силу первого из этих
равенств И^х.Х) может обратиться лишь в Vk+i(x) при X = X*, но это
допущение невозможно в силу второго равенства. Следовательно,
предположение, что X* есть полюс функции К(х,Х), невозможно, что приводит
к следующей теореме:
Если функция /(х) из уравнения (с) удовлетворяет п условиям вида (106),
где Vk(x) (k = 1, 2, 3, ..., п) суть по порядку взятые фундаментальные
функции из ряда их полной системы, то числа Xj, Х2 и т.д. до Х" _ i вклю-
чительно не могут быть полюсами мероморфной функции V(x, X), определяемой
уравнением (с) и предельными условиями (а) или (в).
Так как по предыдущему функция ^(х.Х) не может иметь никаких других
критических точек, кроме полюсов, и так как таковыми могут служить лишь
характеристические числа их полной системы, то предыдущую теорему можно
формулировать еще следующим образом:
Если функция / (х) из уравнения (с) удовлетворяет пусловиям вида (106),
где Vk{x) (k = 1, 2, 3, ..., п) суть по порядку взятые фундаментальные
функции из ряда их полной системы, то функция К(х,Х), определяемая
уравнением (с) и предельными условиями вида (а) или (в), остается
голоморфной во всех точках круга радиуса | Х" _ 11, так что абсолютное
значение первого из ее полюсов больше или равно | Х" _ j |.
Теоремы, указанные в последних пунктах, начиная с п. 33, имеют важное
значение для дальнейших исследований, как это мы увидим впоследствии.
37. Из самого определения характеристических чисел X* как корней целой
трансцендентной функции to(X) следует, что их модули lk беспредельно
возрастают с возрастанием значка к, о чем уже упоминалось выше.
108
Для дальнейшего существенно важно установить по крайней мере низший
предел порядка возрастания чисел 1к по отношению к значку к. С этой целью
мы выведем сейчас одно неравенство, которое будет иметь и другие, не
меннее важные приложения.
