Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 43

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 159 >> Следующая

промежутке [а, Ь\, а постоянные а,0,7 в условиях первого класса или
постоянные pure условиях второго класса имеют какие угодно значения,
подчиненные единственному требованию, что ьд(0) в том и другом случае не
равно нулю {см. пп. 12 и 19 этой главы).
102
Изложенный выше прием последовательного вычисления характеристических
чисел и фундаментальных функций, принадлежащих данной функции fix), мы
будем называть иногда для краткости алгоритмом Шварца - Пуанкаре.
31. Предыдущий анализ показывает, что каждой данной функции fix) в
исходном уравнении (23) принадлежит, вообще говоря, особая совокупность
характеристических чисел и фундаментальных функций. Но все получаемые
таким путем для различных функций fix) характеристические числа служат
корнями одной и той же целой трансцендентной функции оо(Х). Такая
функция, как известно, может иметь лишь отдельные точки нулей, и в
плоскости переменного X не может существовать на конечном расстоянии от
начала координат точки сгущения ее корней.
Поэтому все возможные особенные значения X, могущие служить
характеристическими числами, представляют беспредельный ряд отдельных
вещественных чисел, не имеющий точек сгущения, беспредельно возрастающих
по численному значению. Каждому такому числу может, как упомянуто выше,
соответствовать одна или две линейно независимые между собой
фундаментальные функции.
Собрав в одну совокупность все такие возможные особенные значения X,
получим полную систему всех возможных характеристических чисел, а вся
совокупность им соответствующих фундаментальных функций представит их
полную систему. Вся эта совокупность характеристических чисел разобьется
на две группы: к одной будут принадлежать все числа, каждому из которых
соответствует только одна фундаментальная функция, к другой -все те,
каждому из которых будут отвечать две различные фундаментальные функции.
Все фундаментальные функции, соответствующие различным характеристическим
числам, необходимо ортогональны между собой, но две функции, отвечающие
одному и тому же числу, как указано выше (п. 28), могут не быть таковыми.
Но если одному и тому же числу, положим ХЛ, соответствуют две разные
функции, положим Vkix) и 1 Ч*)> то, очевидно, и две независимые между
собой их линейные комбинации представят также две различные
фундаментальные функции для числа X*. Пусть Vk (х) и Нк( 1J (х),
найденные каким бы то ни было способом, оказываются неортогональными,
т.е.
f pix)Vkix)VlI>ix)dx* 0. (91)
а
Возьмем за фундаментальные функции две следующие:
V*(x)* rkix) + <*Vk(,)ix), (92)
где а - какая угодно постоянная. Последнюю при условии (91) всегда можно
выбрать так, чтобы было
/ Pi*) [VI(х) + aVk(х) К*(°(*)] dx = 0.
а
Если под а в (92) будем подразумевать именно то определенное число,
которое дается этим уравнением, то две функции (92) окажутся
ортогональными между собой. Выбрав указанным образом пары фундаменталь-
103
ных функций для всех чисел второй группы, мы получим полную систему
фундаментальных функций ( вместе с функциями для чисел первой группы) ,
все функции которой будут между собой ортогональны. Очевидно, что все их
можно сделать и нормальными.
Если теперь модуль каждого числа X* обозначим через lk и расположим все
числа первой и второй категорий в порядке возрастания их модулей,
обозначив их буквой X со значками 1, 2, 3 и т.д. в порядке натуральных
чисел, то каждому числу при этом способе обозначения будет
соответствовать одна определенная фундаментальная функция. Обозначив все
эти функции буквой V с по порядку взятыми значками 1, 2, 3 и т.д.,
получим полную систему характеристических чисел в виде ряда
^1| ^2. \t> ••• (93)
и полную систему им соответствующих фундаментальных функций в виде ряда
УЛх), Vi(x), V3(x)...... Vk(x),... (94)
причем порядок расположения чисел (93) будет характеризоваться следующими
условиями, которым удовлетворяют их модули lk :
/, </2 </3 </4 < ...</* <... (95)
При этом подряд взятые два, три или четыре из чисел 1к могут оказаться
равными между собой.
Первый случай может, например, встретиться, когда два подряд взятых
характеристических числа численно равны между собой, но различны по
знаку, и каждому из них соответствует по одной фундаментальной функции
или когда оба эти числа, обозначенные разными значками, равны тому
характеристическому числу, которому соответствуют две фундаментальные
функции.
Второй случай представится, если два подряд взятых характеристических
числа численно равны, но обратны по знаку, и одному из них отвечают две,
а другому - только одна фундаментальная функция.
Наконец, последний случай может иметь место, если таким же двум числам,
что и в предыдущем случае, соответствуют каждому по две различные
фундаментальные функции.
Больше четырех подряд взятых в ряде (95) чисел /*, равных между собой,
быть не может.
Ряд (93) исчерпывает все возможные характеристические числа, а ряд (94) -
все возможные соответствующие им фундаментальные функции, так что вне
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed