Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
получены и раньше, если за исходный пункт возьмем вместо уравнения (26)
уравнение (27) и будем рассматривать К(х)как функцию параметра д.
Ищем, согласно этому методу, интеграл уравнения (27) в виде ряда
V (х, д) = у0 (х) + ду, (х) + д 2у2 (х) + .. . + д* у* (х) + . .. (28)
при предельных условиях
1(П = О, ?,(Ю = 0, (29)
Для определения коэффициентов у* (х) ряда (28) получим уравнения
vk" (*) г Я1 (*) vk (*) + Р (*) vk _ 1 (х) = 0 (30)
при предельных условиях
L(vk) = 0, L, (у*) = 0. (31)
Определение функций у* (х) сводится к интегрированию следующего
однородного линейного уравнения, соответствующего неоднородному уравнению
(30):
v"(x)-qi (х)у (*) = 0. (32)
В рассматриваемом случае это уравнение будет играть ту самую роль, какую
играло аналогичное уравнение п. 5 гл. V.
Мы можем дословно повторить все рассуждения гл-V и в данном случае,
заменив лишь всюду букву X буквой д, а функции ut (х) и и2 (х),
представлявшие частные решения уравнения
у"(х)-<7(х)у(х) = 0, (32,)
подчиненные условиям
Hi(a)=l, ц2(а) = 0, м,'(а) = 0, и2 '(<*)=! (322)
(см., например, уравнения (13) и (14) п. 5 гл.У, - соответствующими
частными решениями у, (х) и у2 (х) уравнения (32), подчиненными
условиям
{/,(*)= 1, U\(a) =0,
U2(a) = 0, U\(a) = 1. (33)
Сравнивая уравнения (32,) и (32), заключаем на основании (27,
),что
Ui(x) и U2(x) зависят от введенного нами произвольно параметра с и при с
= 0 как раз обращаются в функции и, (х) и и2 (х).
Как все рассуждения главы V были справедливы в предположении, что для
условий первого класса
ш(О) = и',(6)-0и,(6)-2а +
+ уи2(Ь)-(а2+0у)и2(Ь)Ф 0, (34)
а для условий второго класса
ш(0) = 2-~ и2(Ь)-ри2(Ь) + ти2(Ь)Ф0, (34,)
так и те же рассуждения, примененные к уравнению (27), будут справедливы
121
в предположении, что соответствующие выражения, составленные из функций
U, (jc) и U2(x), в том и другом случае будут отличны от нуля, т.е. когда
для предельных условий первого класса
U[(b)-0Ui(b)-2a + yU'2(b)-(<*2 + fly)U2(b)*0, (35)
а для предельных условий второго класса
2-1 и^Ь)- ри'г(Ь) + ти2(Ь)Ф0. (35,)
Но в данном случае левые части этих неравенств зависят от произвольного
параметра с. Следовательно, если и в тех случаях, когда со(0), т.е.
выражения (34) и (34,) обращаются в нуль, окажется возможным подобрать с
так, что выражения (35) и (35,) выйдут не равными нулю, то метод Шварца -
Пуанкаре, если принять за исходный пункт уравнение (27), установит и для
всех случаев, когда со(0) =0, существование бесчисленного множества
вещественных характеристических чисел
ДьДг, (36)
и им соответствующих, не равных нулю, фундаментальных функций
Vi(x), У2(х), ..., Vk{x) (36,)
а также и все те их свойства и особенности, какие были доказаны в гл. V.
Числа ряда (36) будут отличаться от характеристических чисел X* гл. V
лишь одной и той же постоянной с, ибо в силу (27,) при всяком к
рк = Хк + с, (37)
т.е. вся шкала характеристических чисел X* гл. V будет сдвинута вправо (с
> 0) на один и тот же отрезок с.
11. Покажем, что таким сдвигом шкалы характеристических чисел
действительно можно достигнуть только что указанного результата.
Обозначим через IV, (jc, ju) и W2(х, р) два независимых частных решения
уравнения
У"(х) + {pp(x)-qi(x)]V(x) = 0, (38)
подчиненные условию
Wiia, д)=1, W\(a, р) = 0,
И/2(й,д)=0, W'2(a,p)=\. К
Уравнение (38) представляет лишь другое изображение уравнения
У"(х) + [X/j(jc)-f/(jc)]^) = 0,
а символы Wi (jc, р) и W2(x, р) - другое формальное изображение функций,
обозначенных раньше через vv | (jc, X) и vr2(.v, X).
Если к уравнению (27) применим рассуждения п. 19 предыдущей главы, то
получим
У(х,р)= &(х,р)/П(р), причем, очевидно,
Q(x,p) = W(x,X), П(р) = со(Х). (40)
122
Что касается выражений левых частей неравенств (35) и (35,), то они равны
соответственно значениям функции 12(д) при д = 0 для предельных условий
первого и второго классов, т.е. в силу второго из тождеств (40) равны
12(0) = w(-с), ибо д = Х + с. (41)
12. Рассмотрим теперь уравнение (32) :
Г'(х)-*,(х)И(х) = 0, (32)
написав его в виде
V"(x)~ q(x)V(x) = cp(x)?(x). (41.)
Будем искать интеграл этого уравнения в виде ряда, расположенного по
целым положительным степеням параметра с, полагая
И(лг) = и0 (л:) + си, (л:) + с-2 (л:) + ... + с*у*(х) + ... (42)
Подставляя это выражение V(x) (41,) и приравнивая нулю коэффициенты при
одинаковых степенях с, получим ряд уравнений для последовательного
определения коэффициентов vk(x) вида
и"(*) -<?(*) Уо(*) = 0, (43)
vk(x)-(f(x)uk(x)=p(x)vk_i(x) (А = 1,2,3-----------). (44)
Будем искать решения этих уравнений при предельных условиях двух
следующих типов:
Мя) = 1. и{,(*) = 0.
о*(а) = 0, у*(а) = 0, а
или
vu(a) = 0, ий(а) = 1,
ик(а) = 0, vk(a) = 0.
Рассмотрим оба случая отдельно.
В первом случае (а) получаем, очевидно,
и0(*) = Ы|(*). (45)
Положим теперь в (44) к = 1. Получим
v"(x) ~q(x) у,(х) = р(х) у0(х), (46)
у,(а) = 0, у, (а) = 0. (46,)
Общий интеграл неоднородного линейного уравнения (46) представляется в
