Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 46

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 159 >> Следующая

Обозначим через и(х) какую-либо функцию от х, непрерывную в промежутке
[а,Ь], а через о(х) - функцию, удовлетворяющую уравнению
v"(x) - <7(*М*) +р(х)м(х) = 0 (107)
и предельным условиям одного из двух следующих типов:
v'(b) = av(a) + Qv(b), v'(a) = yv(a) - av(b), (108)
или ^
v(b) = pv(a), u'(b) =-v'(a) + Tv(a). (109)
P
Интегрируя по частям и приняв в расчет уравнение (107), получаем / и'2
(х) rfx = и (х) и' (х)| - f q(x)v2(x)dx + f p(x)v(x)u(x)dx. (110)
a \ o a a
Если u(x) удовлетворяет условиям (108), то
'Ь - 0v2 (Ь) - ~ '
I а
если же и(х) удовлетворяет условиям (109), то
и(х)и'(х) =0и2 (b) - y'v2(a) + 2av(a)v(b); (111)
u(x)i/(x) =рти2(а). (1111)
Какова бы ни была функция и(х), непрерывная и имеющая интегрируемую
производную, имеет место тождество
v2 (х) - V2 (?) = 2 / и(х) о'(*) dx {
для любых двух значений х и ?, взятых в промежутке [д,/>]. Из этого
тождества при помощи неравенства Буняковского выводим
v2 (?) < v2 (х) + 2y/f v2 (х) dx у/( v'2 (х) dx
а а
-- неравенство, имеющее место при всяком данном ? и при любом значении х
в промежутке \а,Ь]. Интегрируя это неравенство по х в пределах от а до Ь,
находим
( v2 (х) dx
J \ > ". -------------шш.. ¦ ... -)
v2 (?) < ------------ + 2 у fv2 (х) dx V /v'2 (х) dx.
b- a
Заметив, что в случае (111) I и(х) и'(*)
(112)
К(| 01+ lot I) t>2 (b) + (I7I+ Ы) v2 (а) *):
а
= fa v2 (b) + а$ v2 (а), (ИЗ)
* ) Ибо |2av(a)i>(ft)l< |а | | и1 (ft) + v2 (я)|.
109
выводим отсюда при помощи неравенства (М2), полагая в нем ? = а и ? = Ь,
следующее неравенство:
ь.
|и(х)и'(х)
<
а а
<*1 /и2 (х)dx + 2 pQ \]f и2 (х)dxjГ о'2 (jc)dx, (113,)
где а, и 2р0 - положительные постоянные, не зависящие от функции и(х), а
только от данных постоянных а, 0, у и концов а и b данного промежутка [а,
Ь\.
Очевидно, что такого же вида неравенство имеет место и в случае (111,),
когда функция и(х) удовлетворяет услориям (109).
Итак, в обоих случаях, как при условиях (108), так и при условиях (109),
имеет место неравенство (113,).
Заметим затем, что
| fq(x)v2(x)dxl<cfv2(x)dx, (114)
а а
где с есть max | </(*)| в промежутке [а, b], и что
\fp(x)v(x)u(x)dx\<y/V's/u'. (115)
а
где положено
V = f p(x)v2 (x)dx, U = f р (х) и2 (х) dx, (115,)
а а
из равенства (110) при помощи неравенств (113,), (114) и (115) выводим
следующее: ,--------------,
/ и2 (х) dx < До f v2 (х) dx + 2 р0 \/f и2 (х) dx <У/ о'2 (х) dx + а
а а а
Ь , уДГ
+ Pl / и {x)dx-j=; ,
где До = о<1 + с, а р, обозначает шах р (х) в промежутке [а, Ь].
ъ
Разделив обе части этого неравенства на / v (*) dx и положив
а
X2-/и'2 (x)dx Jf v2 (x)dx, (116)
а а
находим окончательно
Х2<р1 +2р0*+р, уДГ/у/У', (117)
- неравенство, которое мы и желали получить.
38. Возьмем к первых фундаментальных функций И*(х)из ряда (100) их
полной системы и положим
и (х) = а, V, (х) + а2 У2 (х) + ... + ак Vk (х), (118)
где а, (s = 1, 2,..., к) - какие угодно постоянные.
Приняв в расчет уравнения (97) (п. 32), которым удовлетворяют
фундаментальные функции K*(fc), убеждаемся, что функция и (х)(118) удов-
110
летворяет дифференциальному уравнению
v" (.X) - q(x)v (х) + р (х) ? as Xs Vs (х) = О, (119)
*=]
т.е. как раз уравнению (107), если положить в нем
и (х) = 2 а, X, Vs (х).
*= 1
Очевидно также, что функция v (х) удовлетворяет предельным условиям
(108), если в (118) подразумевать под Ук(х) фундаментальные функции
первого класса, и предельным условиям (109), если под Vk (х)
подразумевать фундаментальные функции второго класса (см. (98) и (99) п.
32). Следовательно, к функции и(х) (118) применимо неравенство (117)
предыдущего пункта.
Так как функции Vk(x) образуют систему, ортогональную по отношению к
функции р(х) и нормальную, то в данном случае интегралы (115,)
представляются в виде
V = fp(x)vrl (x)dbc = S af,
a s= 1
U = S P (x) u2(x) dx = E \2sa2s.
a s= 1
Отсюда на основании условий (96,), которым подчинены модули ls чисел \s,
заключаем, что
(120)
каковы бы ни были постоянные a, (s = 1,2,3,..., к).
Разобьем промежуток [а, Л] на Л- 1 составляющих, один из которых, положим
первый по порядку от а к Ь, будет иметь длину 5, а остальные к - 2равны
между собой, так что длина 5^ (s = 2, 3,..., к - 1)каждого из
b - а - 5
них будет 5. =------------
к-2
Отрезок 8 подчиним только одному условию
b - а
8<8S, т.е.8<--j. (12о,)
Обозначив интеграл от какой-либо функции, распространенный на какой
угодно отрезок 5, через /, выберем постоянные а, так, чтобы
было
f v(x)dx = 0 (s = 2,3,...,к-1), (121)
fv(x)dx = О,
6
af +a|+... +a2k = 1. (122)
Уравнения (121) представляют, в силу (118), систему Л: - 1 линейных
однородных уравнений с к неизвестными as (s = 1, 2,..., к). Очевидно
(tt
число б можно выбрать так, что один из определителей, составленный из
коэффициентов при А: - 1 из величин as, будет не равен нулю. Уравнения
(121) дадут тогда определенные выражения для отношений к - 1 из величин
as к к-й из них, после чего уравнение (122) определит и эту последнюю.
Предыдущая << 1 .. 40 41 42 43 44 45 < 46 > 47 48 49 50 51 52 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed