Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 40

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 159 >> Следующая

меньше, чем д.
22. Докажем, наконец, что кратность полюса X, равна единице, д = 1.
Предположим, напротив, что д > 2.
Так как в равенствах (65,) соблюдается условие ортогональности, то (см.
п. 1 этой главы)
ь
= 0.
а
Помножим теперь первое из уравнений (64) на (х), второе на ^(х), вычтем
один результат из другого и полученное равенство проинтегрируем
94
по х от а до Ь. Приняв в расчет (71), получим / [*V_, (*Ж"(*) -
*'"(*)*'"_, (*)] ^ =
J
= (К"(*))
ь
= 0.
а
Ь
Следовательно, необходимо / р(х) W^(x)dx = 0, что требует, чтобы было
а
Wf^x) = 0 тождественно *).
Очевидно, такой результат получится всегда, коль скоро ц > 2.
Последовательно повторяя те же рассуждения, совершенно так же убедимся,
что и Wji-iOO. И^-гСх), должны равняться тождественно нулю
при
всяком s, удовлетворяющем условию
р - s > 2.
Следовательно, V(x, X) непременно должно иметь вид №|(x)
У(х, X) =---- + U(x, X), (72)
А - Л|
т.е. Х| есть простой полюс функции V(x, X).
23. Сопоставляя все сказанное, приходим к следующему выводу: при
соблюдении условий, указанных в пп. 5 и 8, функция К(х), удовлетворяющая
уравнению
Г (дг) + [Хр(дг) - "(*)] V(x) + Ддг) = 0 (73)
и предельным условием первого или второго класса
L(V) = 0, L\ (К) = 0, (74)
есть, вообще говоря, мероморфная функция Х.Она остается голоморфной в
области значений X, ограниченной кругом радиуса
"JSW <75)
На границе этого круга имеется простой и вещественный полюс Х|.
Интегральным вычетом этого полюса служит функция (х) (см. (72)), не
равная тождественно нулю, удовлетворяющая уравнению
W"(x) + [Xi р(х) - ^(лг)] W, (х) = 0 (76)
и предельным условиям
L(WX) =0, Z.,(^,) = 0. (77)
*) При вещественном А, функции V (х, А,),,!*', (х) W" (х) - вещсственно-
знач-
ные. (Прим. ред.)
95
Число X, есть корень уравнения
ш(Х) = 0. (78)
Уравнения (76) и (77) показывают, что (х) есть фундаментальная функция, а
X) есть соответствующее ей характеристическое число. Таким образом,
доказано существование одного вещественного характеристического числа X,
и ему соответствующей (вещественнозначной) фундаментальной функции W1
(л;). При этом формула (75) дает и способ приближенного вычисления | X,
|, т.е. модуля одного из вещественных корней уравнения (78) ибо, взяв к
достаточно большим, получим, приближенное выражение [Х] | в виде \/Wk _
il\fwk' достаточно мало отличающееся его истинного значения.
Так как уравнения (76) и (77) линейны и однородны относительно W, (дг) и
ее производных, то за фундаментальную функцию, соответствующую найденному
характеристическому числу X,, можем принять любую функцию вида Сi W,
(дг), где С, - какой угодно (вещественный) постоянный множитель. Мы
определим этот множитель при помощи условия
Cffpiх) WHx)dx= 1.
а
При этом получим фундаментальную функцию, соответствующую
характеристическому числу X] , которую обозначим через Vt (дг) и которая
будет, следовательно, удовлетворять условию ь
}' р (дг) V?(x)dx = 1. (79)
а
В дальнейшем под Vt (дг) будем подразумевать именно такую функцию.
24. Возьмем в уравнении (73.) вместо функции Ддг) для которой
изложенным выше приемом мы получили число Xj и функцию И, (дг), другую
какую-либо функцию ft(x).
По предыдущему интеграл уравнения
У"(х)+ [Хр(х) -<?(*)] У(х) +f \ (дг) = 0 (81)
при тех же предельных условиях (74) (которые не зависят от выбора
функции Дх)) представится в виде
У(х, Х)= И^Дх, Х)/ш(Х), (82)
где Wi (дг, X) есть функция того же характера, что и функция W(x, X) в
уравнении (61).
Применяя к уравнению (81) дословно все предыдущие рассуждения, мы найдем
некоторое вещественное число Х(,' * и ему соответствующую фундаментальную
функцию, которую обозначим через V}-1 ^(дг).
Возможны следующие предположения:
1°. Число XV* окажется равным раньше найденному числу X,, и функ-щя Wi
(дг, X) обратится при X = X, в ту же фундаментальную функцию
И, с*)*).
') Или в функцию, отличающуюся от У, (х) постоянным множителем.
96
2°. Число ЛУ> будет равно А,, но Wx (дс, А) обратится при А = А, в
функцию К,(|)0О, отличную от раньше найденной функции Ух (дс) (в линейно
независимую от нее функцию).
3°. Число А[1 * будет отлично от числа А!, причем Wx (дс, А) обратится
при А = А}1* в функцию У/'Ч*)" отличную от найденной Ух (дс), ибо разным
характеристическим числам, если таковые существуют, не может
соответствовать одна и та же фундаментальная функция*).
2S. Первое предположение невозможно при произвольном выборе функции /1
(дс); иначе говоря, функцию/] (дс) всегда можно выбрать так, что зто
допущение не будет иметь места.
Определим fx (дс) при помощи условия
выбрав из бесчисленного множества функций, удовлетворяющих зтому
равенству, какую-либо определенную. Подставив (82) в уравнение (81),
получим следующее уравнение, которому удовлетворяет функция
Умножив зто уравнение на Ух{х) dx и интегрируя результат в пределах от в
до Ь, получим
Так как ^(дс, А)и У, (дс) удовлетворяют предельным условиям одного
*) Пусть К, (х) есть фундаментальная функция, отвечающая двум различным
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed