Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
характеристическим числам X, и' X,.
По самому определению фундаментальных функций имеем
ь
I fi(x) Мдс)с/дс = 0,
(83)
а
И', (*, А):
-J- j / W['{x, А) V, (дс) dx +А/ р(х) Wt (х. А) У, (дс) dx -
(л)(л) I а а
Ь
-/ </(*) V] (х. А) У, (x)dx}+ f /, (дс) У, (дс) dx = 0.
а
Но
ь
s W"(x, A) Vx(x)dx~
а
=(W[ (дс. А) У, (дс) - Wt (дс. А) ^,'(дс)) * + / V, (дс, А) У "(дс) dx.
а
а
V['(x)+\\tp{x)-q(x)\ Vt(x) = О.
К,"(х) + |Х,р(х) - д(х)| К, (х) = О.
/
Отсюда необходимо (X, - X,) р(х) К, (х) = О,т.е К, (х) = о тождественно.
и того же вида (74), в К, (х) - уравнению
>Т(*)+[Х,Р(*)-<!(*)] М*) = о,
то
f W['(x, X) Vt(x)dx =
a
= S q(x) Wt (x, X) Vi (x)dx - X, / p(x) Wt (x, X) Vx (x)dx,
a a
вследствие чего уравнение (84) принимает вид
/ р(х) И/, (х, X) (х) dx + Sfi (X) Vi(х) dx = 0. (85)
ы(Х)
а а
Заметим, что число Xi мы можем рассматривать как простой корень функции
ш(Х), ибо Xi есть простой полюс мероморфной функции
V(x, X) = Wi (х, X)/ со(Х) . (82)
Если бы оказалось, что Х| есть корень функции со(Х) кратности д, то Wi
(х, X) содержит непременно множитель вида (X - Х|)" , ибо только
при этом X = Xi может быть простым полюсом V(x, X). Сократив числитель и
знаменатель дроби (82) на этот множитель, получим
V(x, Х)=И1)(л,Х)/со1(Л),
где со^(Х) будет функцией, для которой Х| есть необходимо простой корень,
причем \х, X) при X = Х| будет обращаться в функцию в Vt (х), где в Ф 0 -
некоторая постоянная. Заметив это, предположим, что X стремится к Х|, и
перейдем к пределу. В пределе получим
lim =-~7, WiQe.\i)=-eVi(x),
со( X) W (Д|)
в Ь
и уравнение (85) при условии (83) даст --------- { р(х) К, (х) dx = 0,
что
w (Х|) а
невозможно, ибо в Ф 0 и co'(Xi) есть величина конечная, a Vx (х) не равно
тождественно нулю.
Следовательно, при условии (83) первое допущение оказывается невозможным.
26. Рассмотрим второе предположение; допустим опять, что (х)
удовлетворяет условию(83). В этом случае из равенства(85)при X = Xi
получаем
~7~Т I Р(*) ' Ч*) Vi (х) dx = 0.
СО|(Л|) а
Так как 1 /о/(Х,) есть величина, не равная нулю, то необходимо
f Р(Х) Vf^Cx) Vt(x)dx = 0, а
т.е. К/Г)(х)есть функция, ортогональная с Vt (х) по отношению к
характеристической функции р(х).
98
Второе предположение возможно лишь в том случае, когда числу Xt отвечают
две различные фундаментальные функции. При этом, если функция Д (дс)
удовлетворяет условию (83), то метод Шварца - Пуанкаре, примененный к
уравнению (81), если и приведет к ранее найденному числу Xi, то числитель
дроби (82) Wx (дс, X) обратится при X = Xi в фундаментальную функцию К/**
(x), отличную от найденной раньше функции Vx (дс) и ортогональную с ней.
27. Итак, если вместо уравнения (23) (п. 11), давшего по методу Шварца -
Пуанкаре некоторое характеристическое число Xt и ему соответствующую
фундаментальную функцию Ух (дс), мы возьмем уравнение (81), заменив /(дс)
через Д (дс), рде Д (дс) - какая-либо функция, подчиненная условию (83),
то метод Шварца - Пуанкаре, примененный вновь к уравнению
(81), приведет либо к другому характеристическому числу Х2, отличному от
Xi, и другой фундаментальной функции У2 (дс), отличной от К, (дс)*), либо
к тому же числу Xt, но к другой ему же соответствующей функции Vp \дс),
отличной от Vx (дс) и ортогональной с ней. Напомним, что в первом случае
V2 (дс) также будет ортогональна по отношению к Ух (дс) \см. п. 1 этой
главы).
Полученный результат можно формулировать иначе следующим образом:
Если Ух (дс) есть какая-либо фундаментальная функция, а данная функция fi
(дс) в уравнении (81) удовлетворяет условию
/Л(Х) У Лx)dx = 0,
а
то точка X = Xj есть, вообще говоря, простая точка мероморфной функции
V(x, X), удовлетворяющей уравнению (81) и условиям (74) (не полюс), и
может быть ее полюсом (если может) лишь в том случае, когда числу Xj
соответствуют две различные между собой фундаментальные функции.
28. Нетрудно убедиться в справедливости обратного предложения, а именно:
если в уравнении (81) функция Д (дс) удовлетворяет условию
I А(х) Ух(х)(1хФ0 , (86)
а
то Xj есть непременно полюс мероморфной функции У(х, X) (82), причем при
X = Xi функция Wx (дс, X) обращается в функцию, являющуюся линейной
комбинацией функций Ух (дс) и К/1 * (дс).
В самом деле, формула (85) справедлива для всякой функции Д (дс) и при
всяком X. Полагая X = Xt, получаем
1 ь ь
-Г- S Р(х) И/,(дс, X) К, (дс)dx + / Д (дс) Vl(x)dx = 0. (87)
ОД (Aj ) а а
Если X, есть простая точка функции V(x, X), то Wx (x, X,) должно быть
тождественным нулем, что невозможно в силу условия (86). Итак, при
условии (86) Xj есть необходимо полюс функции У(х, X).
*) В соответствии с предположением 3° п. 24.
99
Следовательно, Wy (х, X) должно обращаться при X = Xt либо в функцию У!
(х), либо в другую фундаментальную функцию, соответствующую числу Х[,
если это возможно. В этом последнем случае Wy (х, X,) не может равняться
функции V J1 * (х) предыдущего пункта, которая ортогональна с У у (х),
ибо тогда равенство (87) делается невозможным в силу условия (86).
