Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
доказаны, коль скоро коэффициенты v* (х) ряда (18) удовлетворяют условию
(условие ортогональности)
Ъ
= 0,
\а
(1>" (х) vm' (х) - vm (х) vn' (х) )
каковы бы ни были целые числа пн т. Очевидно, что равенство соблюдается
для всех трех случаев предельных условий (14), (15) и (16).
8. Легко видеть, далее, что все рассуждения пп. 19-37 также
применяются без всяких существенных изменений и к рассматриваемым
случаям, так как все эти рассуждения остаются справедливыми также для
всяких предельных условий типа (19), коль скоро они удовлетворяют условию
ортогональности; условия же (14), (15) и (16) принадлежат к этому типу,
и, как сказано, условию ортогональности удовлетворяют.
При этом следует отметить лишь следующее обстоятельство. В
рассматриваемых предельных случаях функция V(х, X), так же как и в
предыду-118
щей главе, представляется в виде W{x, X) и(Х)
причем, как нетрудно убедиться, w (X) для условий (14) равна
ы(Х) = (Й,Х)*). (20)
При условии (15) она имеет вид
w(X)-w,(b.X) + 7Wa(*.X), (21)
а при условиях (16)
w (X) = w*' (й, X) - 0 w2 (й, X). (22)
Анализ указанных выше пунктов гл-V основывается на допущении, что w (0) Ф
0.
То же самое допущение должно иметь место и в рассматриваемых теперь
исключительных случаях, т.е. данные задачи в случае фундаментальных
функций первого предельного класса должны, в силу (20), удовлетворять
условию
"а (й) Ф 0, (23>
для функций второго предельного класса, в силу (21), условию
Mi (й) + 7"2 (й)=А0 (23j)
и, наконец, для функций третьего предельного класса, в силу (22), условию
"2>)-0и,(й)*О. (23а)
При этих ограничениях все теоремы главы V, изложенные в пп. 1 -37,
остаются, в силу вышеуказанного, справедливыми и для всех фундаментальных
функций трех предельных классов, характеризуемых условиями (14), (15) "
(16).
9. Нетрудно убедиться, наконец, что и основное неравенство (124)
предыдущей главы для модулей характеристических чисел X* сохраняется и
для рассматриваемых теперь исключительных (предельных) случаев.
Неравенство (124)
|Х*|=/*>г2*2. (24)
как показывает анализ п. 38 предыдущей главы, будет иметь место для
всякой совокупности к функций Vk (х), составляющих функцию н(х) (118)
(гл. V), коль скоро функции Ук (х) удовлетворяют уравнениям (13) (п.6
настоящей главы) и притом таковы, что функция v (х), составленная из Vk
(х) по формуле (118) (гл. V), удовлетворяет неравенству (117) предыдущей
главы (п. 37). Это же последнее будет справедливо для всякой функции
и(х), которая удовлетворяет уравнению (107) (п. 37 гл. V) и
¦) Всюду сохраняем обозначения предыдущей главы. См. равенства (8) и (14)
этой 1авы.
119
следующему предельному неравенству:
| v (jc) v' (х) I | <00 V2 (ft) + a02 v2 (a) (25)
'a
(см. неравенство (113) п. 37 гл. V *).
Очевидно, что функция v (jc), о которой идет речь, будет удовлетворять
уравнению (107), если в формуле (118) подразумевать под Vk (jc)
рассматриваемые нами в этой главе фундаментальные функции трех указанных
выше предельных классов.
Остается только убедиться, что и неравенство (25) справедливо для всех
этих функций, удовлетворяющих условиям (14), (15) и (16).
В случае условий (14) функция (118):
и (jc) = a, К, (jc) + а2 V2 (jc) + .. . + ак Vk (jc) удовлетворяет
условиям v (а) = v (ft) = 0. Следовательно,
I V (jc) V' (JC) I ь | = 0.
I a
Для условий (15) получаем v' (e).= yv (a), v (ft) = 0. Поэтому
|u(jc)i/(*)|b| = l7lu2(a).
I a
Наконец, для условий (16), и (a) = 0, и' (ft) = 0i> (ft), т.е.
| и (jc) и'(Jc) I ЬI = I ^ lu2 (ft).
I a
Неравенство (25) соблюдается во всех случаях, а следовательно,
неравенство (117) гл. V остается справедливым и для фундаментальных
функций, подчиненных предельным условиям (14), (15) и (16).
Из сказанного следует, что все рассуждения tin. 37 и 38 гл. V
распространяются и на рассматриваемые исключительные (предельные) случаи
и приводят к неравенству (24).
10. Резюмируя все сказанное, можем утверждать, что все теоремы
предыдущей V главы справедливы для всех фундаментальных функций первого и
второго классов, каковы бы ни были постоянные а, (3, у или р и те
соответствующих предельных условиях, включая сюда и предельные случаи,
когда некоторые или все из этих постоянных обращаются в бесконечность,
если только соответствующая всем этим случаям целая трансцендентная
функция со ( X) не обращается в нуль при X = 0.
Покажем теперь, что можно освободиться и от этого последнего ограничения.
Перепишем исходное уравнение метода Шварца - Пуанкаре
К" (*)+[Хр (*)-<?(*)]+/(*)= 0 (26)
в следующем виде:
У"(х)+ [pp(x)-qi (jc)] K(jc)+/(jc) = 0, (27)
полагая
д = Х + с, qi (х) = q (х) + ср (х), (27,)
*) В формуле (113) гл.V стоит один знак <, но, очевидно, вывод
неравенства (117) не нарушится и при знаке равенства в формуле (25).
120
где с есть произвольная положительная постоянная. Уравнение (27) имеет
тот же вид, что и (26), только буквы X и q заменены буквами д и <7,.
Рассматриваемый метод приведет ко всем тем результатам, которые были
