Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
Получится другая функция Kt(2)(x)< соответствующая тому же Xt. Очевидно,
что одному и тому же Xt могут отвечать не более двух линейно независимых
функций, ибо они должны представлять два частных решения одного и того же
линейного уравнения
К"(*)+[Х,|"С*)-"(*)] К(х) = 0,
которое более двух таких решений допускать не может. Поэтому функция
К,<2>(х) необходимо будет линейной комбинацией функции Уу (х)иК|1Чх).
29. Возвращаемся к первоначальному уравнению (23). Применяя к нему
метод Шварца - Пуанкаре, найдем, как доказано выше, вещественное число
Х[; функция У(х, X), удовлетворяющая уравнению (23) и предельным условиям
(74), представится в виде (72) (п. 22).
Если вместо Wy (х) введем функцию Vу (х) п. 23, подчиненную условию (79),
то можем писать
АуУу(х)
у(х t X) = -L 1 v + U(x, X), (66)
Л - Л|
где А у есть некоторая постоянная, a U(x, X) есть голоморфная функция от
X в точке X = Х|. Подставив это выражение У(х, X) в уравнение (23),
получим следующее уравнение, которому должна удовлетворять функция U(x,
X):
U"(x) + [Хр(х) - 9(х)] Щх) + /у (х) = 0 *), (88)
где
fi (х) = A j р(х) Уу(х)+ /(х), (88 у)
а подстановка того же выражения в предельные условия (74) дает, очевидно,
HU)- О, L! ((/) = 0 (89)
Уравнение (88) имеет как раз вид уравнения (81).
Метод Шварца - Пуанкаре, примененный к уравнению (88) при условиях (88,),
приведет к некоторому числу А2 такому, что t/(x, X) будет голоморфной
функцией X внутри круга радиуса ру = IХ21 , а X = Х: будет простым
вещественным полюсом этой функции. Так как по предыдущему непременно ру >
р, то | Хг | > | Xt |, причем X - Xt есть простая точка для
функции Щх, X). Отсюда на основании теорем пп. 27 и 28 заключаем,
что
необходимо
I Мх)УУ (x)dx =0
а
*) Для сокращения опускаем аргумент*., написав U(x) вместо Щх, X),
100
ИЛИ, В силу (88,) и (79),
А, =-//(*) Vl(x)dx.
а
На основании этого можем утверждать, что если л уравнении (81) за функцию
/, (х) примем
fi (х) =/(*) - р(х) Vi(x)f f(x) Vi(x) = dx,
a
то, применив к нему метод Шварца - Пуанкаре, мы придем к новому
характеристическому числу Х2>|Х2|>|Х, \, причем числитель W, (х, X) дроби
(82) обратится при X = Х2 в новую фундаментальную функцию Wx (х, Х2),
соответствующую числу Х2.
Совершенно так же, как в п. 21, убедимся затем, что U{x, X) представится
в виде
АгУг (х)
U(x, Х) = - ¦ ¦ +?/,(х.Х), (90)
Л - Л2
гае А2 есть некоторая постоянная, V2 (jc) есть фундаментальная функция,
подчиненная условию
/ Р(х) У\ {x)dx = 1 ,
а
a Ux (х, X) есть голоморфная функция от X внутри круга радиуса р2 > р,.
Заметим, что равенство р, = р может иметь место лишь при Х2 = - X,: если
же точка X = - X, - правильная точка функции V(x, X), то р, > р.
Таким образом, доказывается существование другого характеристического
числа Х2, IХ21 > | X, |, и ему соответствующей фундаментальной функции У2
(х).
Если обозначим через w?l * (к = 1, 2, 3, ...) интегралы Шварца,
соответствующие функции /, (х) (88,), то получим
\/й^Т7
р, = IХ21 = lim -... ..... ¦
30. Если применим затем дословно к функции U, (jc, X), определяемой
уравнением (90), рассуждения предыдущего пункта, то докажем существование
третьего числа Х3 и соответствующей ему фундаментальной функции V3,
которую можем подчинить условию
/ Р(х) Vi(x)dx = l. а
Продолжая рассуждать так далее, мы докажем следующую теорему :
Каждой данной функции Дх), непрерывной в данном промежутке [а,Ь\,
соответствует бесчисленное множество вещественных чисел
X,, Х2,..., X*,...,
модули которых lk (к= 1,2,3,...) удовлетворяют условиям
/, ^ 12 ^... ^ ...,
101
и соответствующих этим числам не равных нулю функций
Vi(x), V2(x)..... Vk{x)....
образующих ортогональную и нормальную систему с характеристической
функцией р(х), удовлетворяющих уравнениям
V'k{x)+[kkp{x)-q{x)]Vk{x) = 0
и предельным условиям двух следующих типов:
У'кФ) = "Ук(а) + 0 Ук{Ь), У'к{х) = уУк00 ~<*Ук(Ь), (а)
или
Ук (ь) = р Vk (a), V'k(Ь) = - У'к(а) + т Ук (а); (в)
Р
где а, 0,7 и р,т суть постоянные, причем р не равно нулю.
Фундаментальные функции (первого и второго классов) являются
интегральными вычетами в простых вещественных полюсах мероморфной функции
У{х, X), удовлетворяющей уравнению
V"(x, X) + [\р(х) - <7(*)] У(х, X) + / * 0 (с)
и предельным условиям (а) или (в), а полюсы - ее характеристическими
числами X* и в тоже время корнями целой трансцендентной функции cj(X),
которая при предельных условиях (а) {первого класса) представляется в
виде
cj(X) = w 1 (b, X) - 0 Wj {b, X) - 2а +
+ ywi(b, X) - (а3 + 07) w2 (Ь, X), (л)
а для предельных условий (в) {второго класса) - в виде 1
cj(X) = 2----w, {b, X) - ри'з {b, X) + tw2 {b, X)- (0)
Р
Здесь и', (дс, X) и w2 (дс, X) суть два частных линейно независимых
решения дифференциального уравнения
V"{x, X) +[Хр(х)-</(*)] У{х) = 0,
подчиненные условиям
w, {а, X) = 1, w[{a, X) = О,
w2(a, Х) = 0, WjO", Х)=1.
Все предыдущие положения справедливы, если р{х) и q{x) суть две какие
угодно непрерывные функции, причем первая из них остается положительной в
