Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
lim - = 0, а
то в пределе V (Ь) = 0, что в соединении с (9) снова дает тот же случай
(2).
4. Остается разобрать последний случай 3 °. Пусть а = ">, /3 =
"> и -у = оо.
Здесь возможны следующие предположения:
/3 у
lim -= 0, lim - =0, (ai)
а а
lim . т " lim - =0, (a2)
a а
lim /3 - = oo сГ и н (вз)
а а
lim - =0, н и (в 1 )
а а
lim п "а| 7 lim - = у , (В2)
а а
lim /3 = оо V и ч Е (Вз)
а а
lim. И О lim - = оо, (Cl)
а а
/3 У
lim - =/3 , lim - = (с2)
а а
lim /3 = оо У lim - = оо. (Сз)
а а
115
Для случаев (а/) (/ = 1,2) перепишем уравнения (1) в виде
1 , 0
- К'(*)= К(а)+ - V(b), а а
1 , 7 (1°"
- К" = - К (a) - V(b). а а
Отсюда, переходя к пределу, получаем для (а!) и (а2): V (а) = V (Ь) = 0.
Для случая (аэ) представим первое из уравнений (1) в виде
V'(b)= ^-V(e)-V(b), (11)
0 0
что дает в пределе V(Ь) = 0, т.е. тот же результат, что и второе
уравнение. Этот случай исключается.
В случае (в,) уравнения (10) дают
V(а) = 0, у'К(а)-К (*) = 0, т.е. К(*) = 0.
Для случая (в2) получается тот же результат.
Наконец, в случае (в 3) уравнение (11) и второе из (10) приводят в
пределе к тому же самому результату.
Для случаев (ct) (i = 1,2) приводим уравнения (1) к виду
1 0 1 "
- К'(*)=К(а)----------К(*>). - V (а) = К (а) - - V(b).
а а у у
В случае (ci) оба уравнения приводятся к одному
V (а) = 0.
Этот случай не подлежит рассмотрению.
При условиях (с3) получаем
К (а) - /3' V ф) = 0, V (а) = 0,
т.е.
V (а) = V (Ь) = 0. (11.) Наконец, в случае (с3), представив уравнения
(1) в виде
- V'(b)= V (a)-V(b), - К (а) = К (а) - ~ V(b),
0 0 У у
снова получаем в пределе равенства (11,).
Сопоставляя все сказанное, приходим к заключению, что все возможные
предельные случаи условий первого класса, когда при обращении постоянных
а, @и у в бесконечность они остаются линейно независимыми, приводятся к
трем указанным выше типам (2), (3) и (4).
5. Рассмотрим предельные условия второго класса
V(b) = pV(a), V'(b)= - V'(a) + rV(a). (12)
Р
116
Остановимся сначала на исключенном раньше случае р = 0. Уравнения (12)
обращаются при этом в следующие:
V(b) = О, V' (а) = 0.
Получается частный вид равенств (3) при 7 = 0.
Предположим теперь, чтор, или т, или оба вместе обращаются в
бесконечность. Здесь возможны случаи предположения:
р = °°, т конечно, (а)
р конечно, т =°°, (в)
р = оо и т = °°. ^ (с)
Представив первое из уравнений (12) в виде - V ф) = V (а),
Р
заключаем, приняв в расчет второе из них, что в случае (а) они приводятся
к следующим:
V (а) = 0, V1 (b) = tV (а),
т.е.
К(д) = 0, К" = 0.
Получается частный случай условий (4) при /3 = 0.
Написав затем второе из (12) в виде
1 , 1
- V (*)= - V'(a)+V(a) т рт
и приняв в расчет первое из них, получаем для случая (в) :
К (д) = К (Ь) = 0.
Наконец, изобразив уравнения (12) в виде
1 1 1 '
- V(b)=V(a), - V'(b)= - V'(a)+V(a),
Р т рт
убеждаемся, что в случае (с) оба условия (12) приводятся к одному
V (а) = 0.
6. Сопоставляя все сказанное в предыдущем пункте с результатом п. 4
приходим к следующему окончательному выводу:
Все возможные случаи, когда при обращении в бесконечность постоянных а,
0, 7в условиях первого класса или постоянных ри те условиях второго
класса эти условия остаются линейно независимыми, сводятся к трем типам
(2), (3) и (4) п. 2.
Нужно, следовательно, показать, что изложенный выше метод
распространяется и на следующие три класса фундаментальных функций Vk
(х), которые являются предельными по отношению к фундаментальным функциям
предыдущей главы:
1.° На фундаментальные функции Vk (х) первого предельного класса, которые
определяют уравнением
Vk " (*) + [ Р (*) - Ч (*)) Vk (х) = 0 (13)
117
и условиями
Vk(a) = 0, Vk(b) = 0. (14)
2° На фундаментальные функции Vk (х) второго предельного класса, которые
определяются тем же самым дифференциальным уравнением и условиями вида
Vk'(a) = yVk(a), Vk(b) = 0. (15)
3.° На фундаментальные функции Vk (х) третьего предельного класса,
которые определяются тем же уравнением (13) и условиями
Vk(a) = О, Vk'(b) = pVk(b). (16)
7. Исходным пунктом метода Шварца - Пуанкаре служит исследование
интеграла V (х, X) дифференциального уравнения
V" (х, X) + [ \р (х) - q (х)] К(х, X) + /(х) = 0, (17)
рассматриваемого как функция параметра X.
Все выводы предыдущей главы останутся справедливыми, каковы бы ни были
граничные (предельные) условия для функции V (х, X), удовлетворяющей
уравнению (17), если, изобразив искомую функцию в виде ряда
V (х,Х) = v0 (х) + X vt (х) + X 2v2 (х) + ... + X* vk (х) + ..., (18)
мы докажем:
(а) Неравенства Шварца (43) п. 14 предыдущей главы и (в) при помощи этих
неравенств установим, что радиус р круга равномерной сходимости ряда (18)
как раз равен
p = lun ¦,
А -+ " V
где Wk по-прежнему означает интеграл Шварца (см. (39) гл. V).
Вникая в анализ пп. 11-19 гл-V, убеждаемся, что, каковы бы ни были
предельные условия типа
L(V) = 0, Ll(V) = 0 (19)
(см. равенства (8) п. 5 rn.IV), только что указанные предложения будут
