Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
виде
у, (х) = С, м, (х) + С2и2 (л:) + г, (х), (47)
где
г, (л:) = w2(->r) f p(x)u,(x)v0(x)dx - м,(х) / p(x)u2(x)vu(x)dx, (47,)
О а
а м,(х) и и2(х) представляют, напомним, частные решения уравнения (32,),
удовлетворяющие условиям (322)(п. 10).
123
Положив в (47)
С, = С2 =0, получим решение уравнения (46) :
ui (*) = "2 (Jc) J р(х) и, (х) v0(х) dx-ui (х) / р(х) и2(х) Vo(х) dx,
(48)
а о
удовлетворяющее условиям (46,) .
Точно так же будем иметь при всяком к:
vk (*) = "2 (*) / Р(х) м, (х) vk _ i (х) dx -а
- "1 (JC) / Р(х) и2(х) vk_i (х) dx. (48,)
а
Таким образом, при помощи (45) и (48,) последовательно определятся
простыми квадратурами все коэффициенты ряда (24), причем на основании
(45), (47,) и (48) будем иметь
г,(х) = и,(х) = м2(х) / p(x)ul(x)dx - ц,(х) / р(х)м,(х)ма(х)</х. а а
Ряд (42) будет, как известно, равномерно сходящимся при всяком х
промежутка [a, ft] во всей плоскости переменной с и представит функцию,
удовлетворяющую уравнению (32) и предельным условиям
У(а) = Г, У'(а) = 0,
т.е. функцию, обозначенную нами в п. 10 через ?Л(х).
Итак, можем писать
?Л(*) = м,(*) + с(м2(*) / P(x)u](x)dx-а
-н,(х) / р{х) и, (х) и2 (х) dx ) + ... (49)
а
Применив те же соображения ко второму случаю (Ь), которые повторять нет
надобности, получим таким же путем
Ui (*) = и2(х) + с( и2 (х) / р(х) и, (х) и2 (х) dx
а
- и, (х) / p(x)u2(x)dx )+ ... (49,)
а
13. Положим
Г2(дс) = м2(jc) / p(x)Ui(x)u2(x)dx - ц,(х) / p(x)u\(x)dx (50)
и составим при помощи найденных выражений (/, (х) и U2 (х) выражения П(0)
(35) и (35,) для предельных условий первого и второго классов.
124
Рассмотрим сначала первый случай. Получаем
J2(0) = U\ (A) ~PU{ (А) - 2а + yU'2 (А) -(а2+р у) U2 (А) =
= соф) + с [г| (А) - Рп (Ь) + у г'2(Ь) - (а2 + Ру) г2(А)] + ... =
= соф) + cJ2i +с2?12 + ... (51)
При помощи (471) и (50) находим
J2, = [и'2{Ь) - Ри2(Ь)\ f p(x)u2i(x)dx +
а
+ (a2Mi(Z>)-7[u'i(Z>)-0Ui(Z>)]) / p(x)u\(x)dx +
.а
+ фи 1 (Z>) - и\ (А) + у [ы2 (А) - Ри2 (А)] -
-а2ы2(А)) / p(x)ui(x)u2(x)dx. (52)
а
Допустим теперь, что соф) равно нулю, т.е. (см. формулу (34) п. 19) у
[и'2 (А) - Ри2 (А)] - а2и2(А) = ри, (А) - м', (А) + 2а. (53)
При этом равенство (52) принимает вид J2, = [ici(A)-0M2(A)] / p(x)u\{x)dx
+
а
+ fa[aui(A),-7]-7[u'i(A)-0Ui(A)-a]} / p(x)ul(x)dx +
+ 2 [а + Ри 1 (А) - и\(А)] / p(x)ui(дг) и2(дс) dx. (52,)
а
14. Преобразуем теперь коэффициент при / p(x)u\(x)dx
а
и формуле (52t) следующим образом. Уравнение (12) п. 4 гл. V в силу (14i)
п. 5 той же главы дает
соф) = (1 +au2(A))(u'i(A) -0Ui(A) -а)-- (Mi(А) ~ PM*)) (""i (А) ~ 7) = 0,
откуда при помощи (53) выводим
(Mi (А)-0м2 (А)) (ем .(A)-7) =
= (1 + аи2(А))(а[ 1 + ош2(А)] - у [ni(A) -Ри2(А)]).
Предположим сначала, что
"i(A) -0ы2(А)*О. (54)
125
В этом случае можем писать
ог2[1 + <ш2(*)]2
а(ам,(Ь) -7)=-
и'г(Ь) -&и2(Ь)
- "Т'П Wiib) -^ц2(/>)]
u'2(b) -0и2(Ь)
При помощи этого соотношения и следующего (см. (53)):
0ы,(*)-ы',(*) + а = 7(и;(*)-0И2(*))-ог(1 +аи2(Ь)) (55)
получаем
а(ам1(Ь)-7) + 7[0м1(Ь)-м'1(Ь) + а] =
а2[1 + аи2(Ь)]2 -2о7[1 + ам2(Ь)| 1и'2(Ь) - 0и2(Ь)\ u'2(b)-0u2(b)
72[и'2(Ь)-0и2(Ь)]2 (а[1 + ам2(Ь)] - у[и'2(Ь) -0и2(Ь)])2
и'2(Ь) - (Зи2(Ь) u2(b)-0u2(b)
или, в силу (55)
(0Ui(b) -u\(b) + af
а(ам1(Ь)-7) + 7[^|(Ь)-м,(Ь) + а] = -----------------------
u2(b) - 0u2(b)
При помощи этого соотношения равенство (521) приводится к следующему
виду:
=-;7:7' 1~ ~Г / р(дс) (M|(JC) [u'2(b) - pu2(b)) + u2(b)-Qu2(b) а
+ и2(х) [0и i(b)-u\(b) + a])2 dx. (56)
Так как w2(лг) и и2(х) суть два линейно независимых частных решения
одного и того же линейного однородного уравнения, то подынтегральная
функция равенства (56) не может равняться нулю, коль скоро соблюдается
условие (54). Следовательно, Ф 0.
ЭП(0)
15. Из уравнения (51) следует, что П, =---------- . Поэтому, хотя
при
Э С с=0
допущении, что
со(0) = 0, (57)
функция П (0) обращается в нуль при с = 0, но ее первая производная
по с
при этом значении с не равна нулю. Отсюда заключаем, что П (0) не
может
равняться тождественно нулю дри всяком с, а из тождества (41) вытекает,
что и при условии (57) со(Х) не может равняться тождественно нулю при
всяком X, по крайней мере при соблюдении условия (54). Кроме того, то же
тождество (41) показывает, что при всяком положительном с, не равном
126
модулю какого-либо отрицательного корня уравнения <о(Х) = 0, если таковые
существуют, то П(О) Ф 0.
Из сказанного выводим следующее заключение:
Все теоремы, установленные при помощи метода Шварца - Пуанкаре для
фундаментальных функций первого класса и их характеристических чисел в
предположении, что оо(0) Ф 0, справедливы и для исключительного случая,
когда <о(0) = 0, коль скоро
и'г(Ь)-Риг(Ь)Ф0. (58)
16. Покажем, наконец, что и ограничение, налагаемое на постоянную 0
неравенством (58), несущественно, т.е. что Л (0) не равняется нулю при
указанном выше выборе постоянной сив том случае, когда
и'2(Ь)-Ри2(Ь) = 0. (59)
Предположим, что постоянная 0 удовлетворяет условию (59). Произведем в
