Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
первых частей равенств (24) и (24,). Для определения С, и С2 получаем
следующую систему уравнений (ср. п. 12 этой главы) :
Ci L (w,) + С2 L (u>2) + L (г) = 0,
CiLi(wi)+C2Lt(w2)+Li(r) = 0. (60)
Определитель этой системы, очевидно, одинаков с определителем со(Х)
уравнений (11) (п. 3) или (20) (п. 8), смотря потому, имеем ли мы дело с
предельными условиями вида (24) или условиями вида (24,). При сделанных в
пп. 5 и 8 допущениях этот определитель не равен тождественно нулю при
всяком X.
Уравнения (60) разрешимы относительно С, и С2 и дают С, =Л(Х)/<о(Х), С2
=Я(Х)/со(Х),
где А (X) иВ(Х), равно как и со(Х), суть некоторые целые трансцендентные
функции от X во всей плоскости этой переменной. Подставив эти выражения
С, и С2 в (59), получим искомый интеграл в виде
V(x, X) = W{x, Х)/со(Х), (61)
где W(x, X) есть целая трансцендентная функция от X при всяком х в
промежутке [а, Ь], т.е. представляется в виде ряда, расположенного по
целым положительным степеням параметра X, равномерно сходящегося для всех
значений X*).
Из выражения (61) следует, что У(х, X), вообще говоря, есть мероморф-ная
функция параметра X, не имеющая других критических точек, кроме полюсов,
которыми могут служить лишь корни функции со(Х), т.е. характеристические
числа Xfc фундаментальных функций Vk(x) (см. первые пункты настоящей
главы).
20. Сопоставив только что полученный результат с теоремой предыдущего
пункта, убеждаемся, что при допущениях пп. 5 и 8 функция K(jr X) не
*) То есть при любом R > 0 ряд сходится равномерно по {х, \) е (х е [а,
b), t х I <¦ < Я.}(Прим. ред.)
92
имеет ни одного полюса внутри круга радиуса р, определяемого равенством
(51), ибо согласно этой теореме У(х, X) остается голоморфной функцией от
X внутри этого круга.
Покажем, что на границе этого круга непременно лежит полюс Xi функции
У(х, Х> а следовательно, и корень функции оо(Х).
Допустим обратное, т.е. что Модуль р i ближайшего к нулю полюса функции
У(х, X) больше р. Так как W(x, X) есть голоморфная функция X во всей
плоскости переменного X, так же как и од(Х), то при сделанном допущении
функция V(x, X) может быть представлена в виде ряда, расположенного по
целым положительным степеням параметра X, равномерно сходящегося внутри
круга радиуса
Pi>P.
что в силу теоремы п. 18 невозможно. Таким образом, на окружности радиуса
р наверное лежит полюс X, мероморфной функции У(х, X) (61), а
следовательно, и корень функции о>(Х).
21. Обозначим через р, р. > 1, кратность полюса Xt.
Функция У(х, X) (см. (61)) может быть представлена в виде
И/ (х) Wu ..., (дг) Wi (х)
У(х, X) = -- + ----- ¦' . + ... + -- + U(x, X), (62)
(х-х.у1 (х-х.у1-1 Х-Х, 1
где U(x, X) есть голоморфная функция от X, т.е. представляется рядом,
содержащим лишь целые положительные степени X - Xt. Функция V(x, X)
удовлетворяет уравнению (23), которое напишем так:
К" + (X - X,)р(х) У(х) + [Х,р(х) - <?(*)] У(х) + / = О*).
Подставив сюда выражение (62) и приравнивая нулю коэффициенты при
одинаковых отрицательных степенях разности X - Xi, получим ряд
дифференциальных соотношений между функциями Wk(x) (k = 1,2,. . . , р).
Первые два из этих соотношений, которые получаются, когда приравняем нулю
коэффициенты при
(Х-Х,)-" и (X - Xi)"M+1, (63)
имеют, как легко убедиться, вид
И/"(*) + [Aip(x) - </(*)] Ь/М(дг) = О,
1 (х) + f>iP(*) - Q(*)] Wp_, (x) + p(x) W^x) = 0.
С другой стороны, функция У(х, X) удовлетворяет предельным условиям
(24) или (241), которые напишем в общей форме
1(К) = 0, 1,К= 0. (65)
Подставив сюда вместо У его выражение (62) и приравнивая нулю
коэффициенты при одинаковых отрицательных степенях X - Xi, получим для
степеней (63):
= 0, 1,(^) = 0,
?(fcV-,) = 0, I,(VM_,) = 0. (65|)
*) В дифференциальном уравнении мы пишем для сокращения вместо У(х, к)
просто У{х).
Докажем, что Xi есть число вещественное. Допустив обратное, положим
Xi = а + /0, (66)
где а и /3 суть некоторые вещественные числа.
Если Xt имеет вид (66), то, очевидно, W^fx) не может быть вещественной
функцией, т.е. должно иметь вид
Wli(x)=Ux(x) + iU1(x),
где U\ (х) и U2(x) - вещественные функции от х. Подставив это выражение
И^(х) в (64) и (65,) и приравнивая нулю вещественные части и коэффициенты
при /, получаем следующие уравнения:
U\'(x) + [ор(х) - ?(*)] Ux (х) - /Зр(х) U2(х) = О,
U'i(x) + [ар(х) - q(х)] U2(х) + 0p(x)Ux(х) = О
и
L(Ui)= 0, !,(?/.)= О,
L(U2)= О, Lx(U2)= 0.
В силу этих последних предельных условий заключаем, что
(67)
(68)
(U\(x)U2(x) - Щ(х)и'2(хУ)
= 0, (69)
ибо в равенствах (65,) соблюдается условие ортогональности.
Умножив теперь первое иэ уравнений (67) на U2 (х), второе на Ui(x), вычтя
одно иэ другого и проинтегрировав результат по х от а до Ь, получим, на
основании (69),
0 / Р(х) [U] (х) + и\ (х)] dx = 0. (70)
а
Если 0 Ф 0, т.е. X, есть число комплексное, то необходимо d/,(x) = 0, U2
(х) = 0 тождественно, т.е. и
(х) = 0 тождественно,
что невозможно, ибо тогда порядок полюса X, функции V(x. X) был бы
