Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 47

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 159 >> Следующая

При этих значениях о, получим по формуле (118) определенную функцию и (х)
удовлетворяющую к - 1 условиям (121).
39. Обращаемся теперь к п. 17 гл. 11. Функция и(х) будет как раз
удовлетворять тем же условиям, что и функция / (х) п. 17 гл. 11, если
положить там п = к - 1.
Заметив, что в данном случае, в силу (120!), число, обозначенное через /
в п. 17 гл. II, равно
Ь - а - б
и применив к функции и (х) неравенство (42() того же п. 17 гл. 11,
получим при принятых обозначениях (см. (117)):
я2(*-2)2 ^ я2(*-2)2 п2к2 I, 2 у
л й : й " : - Г II - - I ,
ф-д-б) ф - а) (Ь-а) \ к)
т.е.
п2
Х2>----------- к2 = а\к2 при всяком к > 3. (123)
9 ф-а)
Неравенство (117) для к > р0 /о0 при помощи (120) и (123) приводит к
следующему:
1к>^т{Х2-2р0Х-я1)> - [ф0к-Ро)2 -(Ро + Ро)]-Pi Pi
Отсюда заключаем, что при всяком
Ро
к> - Г> к>3,к>ро/а0,
о0 (vPo +Ро - Ро)
имеет место неравенство вида
IX* 1 = 1к>т%к2, (124)
где То есть положительная постоянная, не зависящая от к.
Неравенство (124) показывает, что числа /* возрастают при беспредельном
возрастании значка к пропорционально его квадрат)'. Это неравенство имеет
существенное значение для дальнейших исследований.
ГЛАВА VI
Распространение предыдущего метода на исключительные случаи.
Случай, когда постоянные а, р, у для фундаментальных функций первого
класса или постоянные риг для фундаментальных функций второго класса
обращаются в бесконечность.
Случай, когда со (0) равно нулю, но u'2(b) - Р и2(Ь) для функции первого
класса или и2 (Ъ) для функции второго класса отличны от нуля.
Случай, когда со (0) и u'2(b) - Ри2 (b) для функций первого класса или со
(0) и и2 (Ь) для функций второго класса равны нулю одновременно.
Сдвиг шкалы характеристических чисел
1. В предыдущих рассуждениях мы предполагали, что числа а, р, у для
фундаментальных функций первого класса и числа риг для фундаментальных
функций второго класса суть определенные конечные числа (и р не нуль).
Покажем теперь, что предыдущий метод распространяется и на все те
возможные предельные случаи, когда некоторые (или все) из чисел а, р, у
или риг обращаются в бесконечность (или р обращается в нуль). Покажем
прежде всего, что предельные условия как первого так и второго классов
при всех возможных предположениях относительно постоянных а,р,уир,т
приводятся к трем основным типам.
Рассмотрим сначала случай, когда некоторая функция У (х) удовлетворяет
условиям первого класса
V\b) = ctV(a)+pV(b), У\а) = уУ(а) -аУ(Ь). (1)
Возможны три предположения:
1°. Одна из постоянных а, р, 7 обращается в бесконечность, две другие
остаются конечными.
2 . Две из них обращаются в бесконечность, третья остается конечной.
3°. Все три обращаются в бесконечность.
2. Первый случай. Пусть а = °°, р и 7 конечны. Разделив уравнения (1) на
а и перейдя к пределу, получаем У(а) = 0, У(Ь) = 0.
Пусть Р = °°, а и 7 конечны. Первое из (1) дает У (Ь) = 0, вследствие
чего второе из (1) приводится к виду У '(а) = уУ(а).
Пусть, наконец, 7 = а и Р конечны.
Из второго из уравнений (1) выводим, подобно предыдущему, У (а) = 0,
после чего первое из них доставит
У'{Ь) = РУ(Ь).
Итак, случай 1° приводит к трем следующим типам предельных условий:
У(а) = 0, Г(*) = 0, (2)
У,(а)=уУ(а),У(Ь) = 0, (3)
У(а) = 0, У'(Ь) = РУ(Ь). (4)
113
3. Второй случай. Пусть а = °°, @ = 00 , у конечно.
Возможны три предположения: либо
lim---= 0, (5)
либо
lim - = <*', (5i)
0
где а' есть конечная постоянная, отличная от нуля, либо в
lim - = 0. (5 2)
а
Второе из уравнений (1) дает при а =
V(b) = 0. (6)
Напишем первое из уравнений (1) в виде
^V'(b) = j-V(a)+V(b). (7)
При условии (5), переходя к пределу, получим то же равенство (6). Оба
предельных условия приводятся к одному и тому же, что противоречит
требованию их линейной независимости. Поэтому предположение (5)
исключается из рассмотрения.
При втором предположении (5i) уравнение (7) в соединении с (6) дает в
пределе V (а) = 0. Получается уже найденный выше случай (2).
Наконец, при условии (52), представив первое из (1) в виде
1 0
- V'(b)=V(a) + - V(b) а а
и перейдя к пределу, получим V (а) = 0. Снова приходим к тому же самому
случаю (2).
Предположим теперь, что 0 = оо,у = оо,а конечно.
Представив уравнения (1) в виде
j К'(*)= ~V(a)+V(b),~V'(a)=V(a)-~ К (ft)
0 0 у у
и перейдя к пределу, опять приходим к случаю (2).
Допустим, наконец, что у = °°, а = <*>, (3 конечно.
Возможны три следующих предположения:
lim - =0, (8)
У
lim -=а' где а'есть конечное число, отличное от нуля, (81)
У
а
У
а
lim - =о°. (8a)
114
Напишем уравнения (1) в виде
- К'(й)= K(e)+ - V{b), - K"=K(e)~ -J- V(b). (9)
а а у /3
При условии (8) оба уравнения приводятся в пределе к
одному и тому же
Н(в) = 0. (9.)
Этот случай, подобно (5), должен быть исключен.
В случае (8j) уравнения (9) дают V (а) = О, V (Ь) = 0, что приводит к
случаю (2).
Наконец, для случая (82) перепишем второе из уравнений (1) так:
1 . у
- К'(&)= - V{a)-V{b). а а
Так как, в силу (82),
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed