Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
значений \к определяемых рядом (93), не существует никакого другого чисм,
которому могла бы соответствовать не равная нулю фундаментальная функция,
равно как не существует никакой другой функции, не равной нулю и отличной
от функции ряда (94), которая могла бы быть фундаментальной для какого бы
то ни было значения X. не равного нулю, и была бы отличной от линейной
комбинации ряда (94), соответствующих X* = X.
Случай характеристического числа, равного нулю, напомним, исключен
наперед сделанным в пп. 5 и 8 допущением, что gj(0) Ф 0,и будет
рассмотрен особо.
104
32. Таким образом, от теоремы п. 30, устанавливающей существование
бесчисленного множества характеристических чисел и фундаментальных
функций, соответствующих данной функции Дх), переходим к теореме о
существовании полных систем таких чисел и функций, которые зависят лишь
от заданных величин, входящих в дифференциальные уравнения и предельные
условия, которыми определяются фундаментальные функции первого или
второго класса, независимо от введенного метода Шварца-Пуанкаре функции
Дх).
Все вышесказанное можем резюмировать в виде следующей теоремы:
Каждому данному промежутку [a, b\, двум данным непрерывным функциям р(х)
и <Дх), из которых первая остается положительной в этом промежутке, и
совокупностям постоянных а, 0, у или ри т соответствует определенный,для
каждой из этих совокупностей особый, ряд вещественных характеристических
чисел (соответственно первого и второго классов)
\х, Х2. •••, X*, •••, (96)
модули которых удовлетворяют условиям
/, </2 (96.)
и беспредельно возрастают с возрастанием значка к.
Каждому числу \к того и другого класса соответствует определенная
фундаментальная функция Vk соответственно первого или второго класса,
удовлетворяющая уравнению
Vk(x) + [\k р(х) - <Дх) 1 Vk(х) = 0, в <х <Ъ , (97)
и для чисел первого класса предельным условиям
v'k{b) = a vk(в) + 0 vk(Ь), V;(в) = yvk(a)-aVk(Ь), (98)
а для чисел второго класса - условиям
Vk (Ъ) - pVk (a), V'k (Ь) =-V'k{a)+r Vk (а). (99)
Р
Числа \к первого класса служат вещественными корнями целой
трансцендентной функции со(Х), определяемой уравнением (а) теоремы п. 30,
а числа X* второго класса - такими же корнями функции и>( X),
определяемой уравнением (J3) той же теоремы.
Теорема имеет место в предположении, что в том и другом случае со(0)Ф 0.
Ряд (96), содержащий в себе все возможные значения \к, каждому из которых
отвечает определенная, не равная нулю, фундаментальная функция Vk(x) того
или другого класса, называется полной системой характеристических чисел
первого или второго класса, а ряд соответствующих им фундаментальных
функций
И, (х), Уг (х),..., Vk(x),... (100)
- полной системой фундаментальных функций первого или второго класса,
которые в том и другом случае ортогональны по отношению к функции р(х) и
нормальны.
105
33. Совокупность фундаментальных функций, принадлежащих какой-либо
данной функции /(х), составляет часть их полной системы.
Если ряд (100) функций Vk(х), представляющий их полную систему, известен,
то нетрудно установить критерий, при помощи которого можно выделить из
него те фундаментальные функции, которые соответствуют какой-либо
заданной функции /(дг).
На основании теоремы п. 30 характеристическое число \к всякой функции
Ук(дг), входящей в состав ряда фундаментальных функций, соответствующих
данной функции/(дг), служит полюсом мероморфной функции
У (дг,X) = W (x,X)/w (X), (101)
удовлетворяющей уравнению (с) и условиям (а ) или (в), причем при Х=Х*
функция W(x, X) обращается в функцию, линейно выражающуюся через (одну
или две) функции ряда (100), отвечающие характеристическому числу X*.
Возьмем какую-либо функцию Ук(х)ю ряда(100)их полной системы. Легко
понять, что все рассуждения п. 25 дословно применяются не только к
функции, которую мы подразумевали там под Vt(x), но и к какой угодно
фундаментальной функции Ук(х), и приводят к следующему равенству:
/ Р(х) На Л) Ук(х) dx + f /(дг) Ук(х) dx = 0. (102)
ОД(Х) а а
Допустим, что функция/(дг) удовлетворяет условию
ff(x)Vk(x)dx*0. (103)
в
Если взятая функция Ук(х) не принадлежит ряду фундаментальных функций,
соответствующих функции /(х), то \к не может быть полюсом функции У(х,
X). Применим равенство (102) к X = Хк. Припоминая сказанное в п. 25,
можем написать
Х-Х* 1
Иш
а-*а* о>(Х) од'(Х)
Что же касается числителя дроби (101), то при сделанном предположении
(т.е. что X* есть простая точка функции У(х, X) )
^(дс.Х*) = 0.
Поэтому равенство (102) при X = X* дает / /(•*) vk(x) dx = 0,
а
что противоречит условию (103). Отсюда выводим следующую теорему:.
Если функция /(дг) удовлетворяет неравенству (103), где Vk (дг) есть
какЖя-либо функция, взятая из полной системы фундаментальных функций, то
ее характеристическое число X* есть непременно полюс мероморфной функции
(101).
Иначе говоря, если какая-либо функция ^(х), взятая из ряда (100) полной
системы фундаментальных функций, удовлетворяет условию (103), то она