Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
полиномов Чебышева, определяемых формулами (29) гл. I (п. 8), есть также
система абсолютно замкнутая.
10. Заметим, что последняя теорема является частным случаем общей
теоремы, справедливой для каких угодно полиномов Чебышева, которая
выводится в свою очередь из одной основной теоремы замкнутости,
наипростейшее доказательство которой сейчас изложим*).
Допустим, что какая-либо система ортогональных функций <рк(х) замкнута по
отношению к любому полиному Рт(х) какой угодно степени т, так что
Sn{Pm) < е!4 при п>п0. (21)
Пусть f(x) есть какая угодно непрерывная функция х в данном промежутке
[а, Ь\. Положим в неравенстве (10) F(x) =/(*), Ф(х) = Рп(х). В силу (21)
будем иметь, каков бы ни был полином Рп(х),
у/е* Гь ' '
y/S"(f) < - + V / p(x)[f(x)-P"(x)]2dx при п>п0. (22)
2 а
Так как функция f(x) по условию непрерывна, то по теореме п. 18 гл. I
полином Р"(х) можно выбрать так, что
I/(*) - Рп(х) I < -f-, Q = J f Р(х) dx.
4Q а
Если будем понимать под Р"(х) в неравенстве (22) именно такой полином, то
получим
VS"(/)'< VT, т.е. s"(f)<e при п>п0,
где п0 есть соответствующим образом выбранное целое число. Это
неравенство показывает,что коль скоро система ортогональных функций
<^*(х) замкнута по отношению ко всякому полиному какой угодно степени л,
то она непременно замкнута и по отношению ко всякой непрерывной функции
/(*). Отсюда при помощи теоремы п. 8 этой главы выводим следующую:
Если система каких-либо ортогональных функций х) замкнута по отношению ко
всякому полиному какой угодно степени п, то она непременно абсолютно
замкнута.
11. Будем теперь подразумевать под <1*(х) полиномы Чебышева (>рк -полином
А;-степени), определяемые условиями
/ Р(х)*к (*) П* _, (*) dx = 0, (23)
а
где II* _ , (х) обозначает произвольный полином степени <Jfc - 1, р(х) -
по-
*) Эта теорема дана мною впервые в мемуарс "Sur ccrtaines egalitcs
gcncralcs etc." (McW dc 1'Acad. des Sciences dc St. Petcrsbourg, Cl. Ph.
М., 1904, Vol. XV, n. 7).
46
прежнему функцию неотрицательную, интегрируемую в (а, Ь), и
/ P(.x)'Pk(.x)dx= 1.
(24)
а
Из равенства (23), имеющего место при всяком целом к, сейчас же вытекает,
что
коль скоро кФт. Таким образом, всякая система полиномов Чебышева есть
система ортогональная с характеристической функцией р(х), а в силу
условия (24) и нормальная.
Пусть Р"(х) есть произвольный полином какой-либо степени п. На основании
(24) и (25) заключаем, что всегда
откуда Sn(Pn) = 0, т.е. всякая система полиномов необходимо замкнута по
отношению к любому полиному какой угодно степени. На основании теоремы
предыдущего пункта, примененной к рассматриваемому случаю, выводим
следующую:
Всякая система полиномов Чебышева, какова бы ни была ее
характеристическая функция р(х), неотрицательная и интегрируемая в данном
промежутке [а,Ь], есть система абсолютно замкнутая.
Теорема п. 9 есть, очевидно, частный случай этой общей, если
предположить, что р(х) = 1 / у/ (Ь - х) (х - а).
12. Рассмотрим теперь систему функций
т.е. представляют ортогональную систему с характеристической функцией
р(>р) = 1 и нормальную. Обозначим теперь через f(<p) какую-либо функцию,
имеющую интегрируемую производную в промежутке [0, я], и положим
ь
/ p(x)<Pk(x)vm(x)dx = О,
(25)
а
Рп (х)= 2 Ак (дс), А к = / Р(х) Рп (х) Vk (х) dx.
* = О
а
Фк(*)= yflff sinAv (*=1,2,3,...),
(26)
которые, очевидно, удовлетворяют условиям
я 2 Я
/ Фк(<Р) tymU>)dv= - / sin kip sin пир dip = О,
о я1 о
/(*>)= Ъ ЬкФкМ + РпЬ),
к = 1
(26.)
Имеем
Возьмем теперь абсолютно замкнутую систему тригонометрических функций
т.е. Ьк = ск/к, вследствие чего равенство (27) представляется в виде
Отсюда на основании (29) получаем p"(tp) = г "(у). При соблюдении условий
(28) будем иметь, в силу (26t), р"(0) = 0. Поэтому
Но система функций (271) есть абсолютно замкнутая. Поэтому
1РлОЖ < " при п>п0,
где п0 есть соответствующим образом выбранное целое число, е - наперед
заданное положительное число.
Эго неравенство показывает, что всякая функция Д<р), имеющая
интегрируемую производную в промежутке [0, я], разлагается во всем этом
промежутке в равномерно сходящийся ряд вида
Д<Р) = Ь 2 sin f Д<р) sin kydy,
" k= i о
если только Д<р) обращается в нуль на концах этого промежутка.
"Л"(<р)= 11у/я, <р*(<р)= sflfa cosfop
t П
и положим / (ч>) = 2 ckifik(ifi) + rn(ifi), где fc= о
(27.)
Со = -р=. ) J УР) d'P,
Уя о
Предположим еще, что функция Д<р) удовлетворяет условиям Д0)= Дя) = 0.
В таком случае
7 /'(*)<м
(28)
(29)
Но, в силу (28),
/ Д<Р) sin ky dtp =
я о
* к - 1
Рп(<Р)= / r"(>p)d>p,
о
откуда при помощи неравенства Бунявского выводим
1р"0р)1< уЛр у/ f Г dip < yftt Vsn(f').
о
48
13. Из этой теоремы сейчас же вытекает, что система ортогональных функций
(26) есть система замкнутая по отношению ко всякой функции, имеющей
интегрируемую производную в промежутке [0, я] и обращающейся в нуль на
концах этого промежутка.
Пусть f(o) есть какая-либо функция, имеющая интегрируемую производную в
