Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
теряет тело в любой точке поверхности путем внешнего лучеиспускания.
Решение уравнения (1) должно быть таково, чтобы количество тепла,
теряемого телом в каждом элементе ограничивающей его поверхности через
внешнее лучеиспускание, уравновешивалось в любой момент времени
*) В нашу задачу не входит вывод самого уравнения, как и всех других
уравнений математической физики, с которыми будем иметь дело.
Классические выводы всех таких уравнений читатель найдет в любом
руководстве по теоретической физике.
54
количеством тепла, протекающим изнутри тела к каждому из этих элементов
поверхности.
Таким образом, в данной задаче приходится интегрировать уравнение
(1) при соблюдении двух дополнительных условий: условия, которое должно
быть выполнено в начальный момент времени, и условия, которое должно
соблюдаться в каждый момент времени во всех точках поверхности,
ограничивающей тело.
3. Для второго примера рассмотрим задачу о колебании упругой струны.
Предположим, что в начальный момент времени струна натянута горизонтально
и закреплена в концах. Примем прямую, по которой расположены точки струны
в начальный момент, за ось д:. Выводим все точки струны из этого
положения, сообщая им некоторые отклонения в плоскости, проходящей через
ось х, и различные скорости отклоненным точкам в направлении,
перпендикулярном к оси jc, и предоставляем ее затем самой себе. Под
влиянием развившихся при этом упругих сил струна начнет колебаться.
Если обозначим через U отклонение каждой точки струны от положения
равновесия, то U будет функцией времени t и абсциссы д:. Задача о
колебании струны будет решена, если мы будем знать закон изменения
величины U в зависимости от времени t и переменной дс, определяющей
положение каждой точки струны на оси д:.
, Упругие свойства каждого элемента струны характеризуются двумя
величинами: модулем упругости, который обозначим через Е, и плотностью р.
При помощи гипотез, положенных в основу теории упругих тел, созданной
Коши и Сен-Венаном, доказывается, что для каждого момента времени и для
каждой точки д: струны отклонение U должно удовлетворять
дифференциальному соотношению вида
Вообще говоря, Е и р суть величины, различные для разных точек струны,
так что Е\р есть некоторая функция от д:, известная по непосредственному
опыту для каждой струны данного физического состава.
Задача сводится к интегрированию дифференциального уравнения с частными
производными вида
где положено р(х) = Е/р.
Уравнение (3) также допускает бесчисленное множество различных решений,
но из всех этих решений необходимо выбрать то, которое будет
удовлетворять всем поставленным выше физическим условиям задачи.
В начальный момент времени и величина U (отклонение точек струны от
положения равновесия) и сообщенные этим точкам скорости, т.е. значения
производной - • должны совпадать с теми, которые были даны в дейст-Э/
вительности. Кроме того, так как концы струны должны оставаться
закрепленными (неподвижными), то для всякого t величина U должна
равняться нулю для значений х, соответствующих концам струны.
р -------- = Е .
Р Ъ t2 дх2
d2U , d2U
(2)
Э2 и ъ2и
(3)
ъи
55
В'этом случае опять решение задачи приводится к интегрированию
дифференциального уравнения (3) при соблюдении двух условий в начальный
момент времени и двух условий на границах той физической среды, в которой
происходит изучаемое явление.
4. От теории тепла и звука переходим к некоторым простейшим вопросам
гидродинамики.
Предположим, что однородная масса газа (сжимаемой жидкости) заключена
внутри твердого сосуда, движущегося данным образом в пространстве.
Допустим, что в начальный момент времени частицам жидкости сообщено
некоторое движение такое, что при дальнейшем движении жидкой массы
проекции и, v, w скорости каждой ее точки на прямоугольные оси х, у, г
оказываются частными производными по соответствующим координатам
некоторой функции U от времени t и координат х, у, г, т.е. что жидкость
получает, как говорят, движение с потенциалом скоростей U.
В гидродинамике доказывается, что движение газа будет происходить таким
образом, что потенциал скоростей U в любой момент г и во всякой точке х,
у, z будет удовлетворять дифференциальному уравнению
где а2 есть некоторая постоянная, зависящая от физических свойств данного
газа. Движение жидкости будет известно, коль скоро будет известна функция
U, удовлетворяющая уравнению (4).
Но и в данном случае не всякое решение зтого уравнения будет отвечать
поставленной физической задаче. Необходимо, чтобы U и первая производная
U по t принимали в момент времени, который мы принимаем за начальный, те
самые значения, которые им сообщены в действительности, т.е.
х, у, г. Кроме того, так как газ должен целиком заполнять всю
внутренность твердого сосуда без образования разрывов и пустот, то на
стенках сосуда составляющая скорости каждой прилегающей к стенке частицы
жидкости по направлению нормали к поверхности сосуда (его стенке) должна
