Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
h x + 6 x
Ho
x+h + b x + H x + H
f /(z) dz - jr f(z) dz = J /(z) dz +
X+6 X X + 6
x + h + 6 x x + h+6 x
+ / Дг) dz + / f(z) dz = / f(z)dz+ f f(z)dz =
JC + /1 JC+/1 x + h x + 6
x+h+6 x+6
= / f(z)dz- f f{z)dz.
x+h x
В силу зтого можем писать
1 x+h+6 r+Л
Дх + 6) - Дх) = - ( / /(z) dz - / Дг) dz ).
h x+h X
Первый из зтих интегралов можно представить в виде
x+h+б х+6
/ /(z) dz = / f(z+h)dz,
x+h x
причем будем иметь
Дх +6) - Дх) = y V [ Дг +й)-f(z)] dz.
X
Отсюда, обозначив через М sup IДг)I в промежутке [а, 6] *), выводим
неравенство
I Дх + 6) - Дх)| < 2М16 I/1Л I.
которое показывает, что функция Дх) непрерывна в [а, 6], каково бы ни
было данное число Л, Л Ф 0.
Функция f(x) предполагается ограниченной.
43
Рассмотрим разность
D{x) =/(*) - *(х) = -"Г [ f(z) -f{x)) dz. (15)
A x
Воспроизводя рассуждения моего мемуара "Sur la theorie de fermeture etc",
упомянутого выше, разобьем промежуток [а, b] на некоторое число
составляющих.
Обозначим через е, все те промежутки, где осцилляция функции /(х) не
превосходит числа е, через ек - все те, где эта осцилляция более е. Так
как по условию функция f(x) интегрируема, то (это вытекает из самого
определения интегрируемости)*) всегда можно так распорядиться выбором
составляющих промежутков, на которые мы разбиваем [а, Ь], что
2е*< е, (16)
где знак суммы распространяется на все элементы ек.
Разобьем затем каждый из интервалов е, на три составляющие е\, е" и е\" и
выберем элементы е] и е\" так, чтобы
2е'/<е и 2 е" <е, (17)
что, очевидно, всегда возможно. Примем теперь в выражении функции ^(дг)
(39) за А число, меньшее наименьшей из всех величин е\ и е'{',
удовлетворяющих условиям (17). При таком выборе А все точки, лежащие
между х и х+А, где х есть какая-либо точка, принадлежащая элементу е", не
выйдут из промежутка е,-, где осцилляция функции f(x) не превосходит е.
Поэтому для всякого значения х, принадлежащего интервалу е/, будем иметь,
в силу (13),
1Я(дг)Ке. (18)
Напишем теперь интеграл
f р(х) D2(x) dx а
в виде**)
/=2/+2/+2/+2/, а е< el" ei" ек
где, вообще, через / мы обозначаем интеграл, распространенный на отрезок
е. е
Обозначая черезр0 supр(х) винтертале [а. А], получим, приняв в расчет
(16) и (17),
2 JT < 2poAf*€, 2 / < 2poAPe, 2 f < 2polrfe. ei e'i" *к
Далее, на основании (18),
2 / < е2 2 f p(x)dx<Q2e2.
*) См. С. Jordan^ ''Cours d'Analyse", Т.I (Paris, 1893); см. также С.М.
Ни коль с к и й, ''Курс математического анализа", Т. 1 (М.: Наука,
1973).
**) Мы опускаем везде для простоты зле мент p(x)D7 (x)dx под знаками
интегралов.
44
Следовательно,
/ р(х)D2(*)dx <е(6РоМ2 + Q2e)<A2e, (19)
а
где А2 - конечное положительное число.
8. Применим опять неравенство (10) (п.4) к функциям
F(x) =f(x), Ф(дг) = ^(jc).
где под /(*) будем подразумевать функцию, только интегрируемую в
промежутке \а, Ь], а под <р(х) - вспомогательную функцию (39). Получаем
sfSJf) < + У / р(х) D2(x)dx. (20)
а
Предположим, что система функций ^*(х) (1) замкнута по отношению ко
всякой непрерывной функции. Выберем Л так, как указано в предыдущем
пункте, причем будет иметь место неравенство (19). С другой стороны, так
как *р(х) есть непрерывная функция в [а,Ь\, то при выбранном значении //
можем найти в силу сделанного допущения такое целое число п = п0, что
ПРИ п>п0.
При этих условиях неравенство (20) даст
у/ХШ < \/?0 +A) = BVT,
т.е.
при п>п0,
где е' можно подразумевать произвольно наперед заданное положительное
число.
Последнее неравенство приводит к следующей важной теореме:
Если какая-либо система ортогональных функций Ф*(*) замкнута по отношению
к любой непрерывной функции, то она непременно замкнута и по отношению к
любой функции, только интегрируемой в данном промежутке, т.е. по принятой
нами терминологии абсолютно замкнута*).
9. Сопоставляя эту теорему с теоремой п. 6, приходим еще к следующей:
Если какая-либо система ортогональных функций ^(х) замкнута по отношению
к любой функции, имеющей производную некоторого порядка р, интегрируемую
в данном промежутке [а,Ь\, то она непременно абсолютно замкнута.
При помощи этой теоремы сейчас же убеждаемся, что система (12) гл. I
тригонометрических функций
1 ^ Ь
<А" = -7=г, ф* = -р=, COSкц> (12,)
V я
есть система абсолютно замкнутая.
1 Отмстим, что доказательство зтого утверждения првведено в предположении
ограниченности функции р(х). Однако, как легко видеть, это доказательство
без труда переносится и на случай функций р(х), удовлетворяющих условиям
vu.l.(Прим.ред.)
45
В самом деле, из теоремы п. 13 гл. I следует, что всякая функция, имеющая
интегрируемую производную первого порядка в промежутке [0, я ],
разлагается в равномерно сходящийся ряд вида (26) (гл. I, п. 6). Поэтому
система (12() замкнута по отношению ко всякой функции, допускающей в [О,
я] интегрируемую производную первого порядка (р = 1) (см. п. 6 этой
главы), и, следовательно, в силу только что доказанной теоремы она
абсолютно замкнута. Совершенно таким же путем убеждаемся, что и система
