Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 26

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 159 >> Следующая

математической физики, задача сводилась к интегрированию дифференциальных
уравнений с частными производными, причем все эти уравнения были
линейными по отношению к частным производным искомой функции (или искомых
функций) и все - второго порядка.
Встречаются и такие задачи математической физики, где приходится иметь
дело с уравнениями высших порядков, но мы не будем пока останавливаться
на этих более сложных вопросах, ограничившись сначала исследованием
простейшего случая уравнений указанного выше типа. Притом бу-
60
дем для простоты рассматривать случай одного дифференциального уравнения
с одной неизвестной функцией -
Все приведенные выше примеры таких уравнений заключаются, как частные, в
следующем уравнении общего типа:
ъ2и ъи ъа*&*уи
' 9? + ЭУЭ/Эг' +
ъи ъи ъи
+ т - + и - + q - + /i/ = О,
Ъх Ъу Ъг
где а, /3 и у суть целые числа*), удовлетворяющие уравнению
а +/3 + 7 = 2,
а, й, /la+0+.у, т, п, q и / - заданные функции от х, .у и г (не зависящие
от г).
Такого рода уравнения можно разделить на три типа:
1°. Уравнения, в которых а = О, b Ф 0, т.е. содержащие лишь первую
производную искомой функции U по t.
2°. Уравнения, в которых а Ф О, b = 0, т.е. содержащие лишь вторую
производную по t.
3°. Уравнения, в которых одновременно а = О, b = 0, т.е. не содержащие ни
первой, ни второй производных искомой функции по переменной t **).
Уравнения типа 1° соответствуют различным задачам теории тепла. Уравнения
типа 2° охватывают область явлений, изучаемых в теории звука, света,
электричества, гидродинамики, теории упругости. Уравнения типа 3°
характеризуют различные задачи об установившихся процессах и задачи о
равновесии. В двух первых случаях задача приводится к интегрированию
соответствующих дифференциальных уравнений при соблюдении некоторых
начальных и предельных условий, в третьем - начальные условия отпадают и
остаются лишь предельные условия, примеры которых указаны выше.
11. Эти начальные и предельные условия играют первостепенную роль в
вопросах математической физики, такую же, как так называемые начальные
данные в задачах общей механики.
Сущность физических процессов во всех подробностях нам неизвестна.
Обобщая всю совокупность данных опыта и наблюдений, мы строим, как
упомянуто выше, некоторое число наиболее вероятных гипотез, при помощи
которых создаем в своем воображении особого рода механическую модель
изучаемого физического явления. Чем полнее соответствие процессов,
которые воспроизводятся этой моделью, с теми фактами, которые могут быть
непосредственно наблюдаемы в действительном явлении природы, подмененном
построенной нами моделью, тем эта модель лучше, тем более заслуживают
доверия гипотезы, положенные в основу ее построения. Создав такую по
возможности самую простую модель, механическая конструкция которой нам
известна, мы получаем возможность изобразить законы ее движения в
аналитических формах по принципам математики и общей механики. Получаемые
таким путем математические соотношения характери-
*) Включая сюда и значения, равные нулю.
**) Смешанный случай, когда уравнение содержит и первую и вторую
производные поТ, мы рассматриваггь не будем.
61
I
зуют, строго говоря, не те движения, которые на самом деле совершаются в
природе, а те, которые происходят и должны происходить в построенной нами
модели.
Выводя аналитически различные свойства и особенности этих последних
движений нашей модели, мы сравниваем затем полученные таким путем данные
с фактами действительности. Если получается постоянное совпадение тех и
других, если новые факты, выводимые из известных свойств построенной нами
модели, подтверждаются опытом и наблюдениями, то соответствие между нашим
искусственным построением и действительным физическим явлением делается
все более заслуживающим доверия и гипотезы, положенные в основу наших
суждений, становятся все более и более вероятными, превращаясь с течением
времени в законы. Если же наоборот, хоть один вывод из аналитических
формул, изображающих законы движения построенной модели, оказывается в
явном противоречии с данными непосредственного наблюдения, то такая
модель должна быть признана недостаточной, гипотезы (или некоторые из
них), послужившие основой для ее построения, - неудовлетворительными,
несоответствующими действительности. В таком случае приходится
приниматься за построение новой модели или соответствующим образом
видоизменять старую.
Вся история опытных наук, в особенности наиболее точных из них, как то:
геометрии, механики, физики,астрономии,представляет собой образец
создания и постоянной перестройки такого рода моделей.
12. Применяя сказанное к интересующим нас задачам математической физики,
мы должны прежде всего отметить следующее: если дифференциальные
уравнения с упомянутыми выше начальными и предельными условиями построены
не на ошибочных основаниях, не находятся в явном противоречии с
действительностью, то они должны давать для каждой задачи единственный и
Предыдущая << 1 .. 20 21 22 23 24 25 < 26 > 27 28 29 30 31 32 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed