Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
основной в теории функции от одной вещественной переменной.
Предположим, в самом деле, что функция / (х) остается непрерывной во всех
точках промежутка [а, Ь], так что | f(z) - Дх) | < е при I z - х | < Л0,
где биА0 суть положительные числа, не зависящие от х. В таком случае
1 х + к
- f /(z)dz-f(x)
h .х
7~. I Xfh [/(2)-/(x)J dz\<e
IЛ | 1 x 1
1 x + h
при |A| < h0, т.е. выражение- / f(z) dz стремится равномерно для
h x
всех значений х к пределу Дх) при Л -*¦ 0. Применяя к рассматриваемому
37
случаю общую теорему предыдущего пункта, замечаем, что в этом случае
числа Л0 и п0 не зависят от выбора точки дев промежутке [а, Ь] .
Выбрав соответствующим образом эти числа, получим полином степени п0 вида
(44), котороый даст приближенное выражение всякой непрерывной функции Дх)
для всех точек промежутка [а, Ь] с наперед заданным приближением е.
Заметим, что при нашем приеме суждений получается не только
доказательство существования приближающего полинома, но и весьма простое,
определенное его выражение, при помощи полиномов Чебышева, наименее
уклоняющихся от нуля, вида (44). Этой теоремой нам придется
воспользоваться в дальнейшем.
ГЛАВА И
Определение замкнутости ортогональных систем функций. Основные теоремы
теории замкнутости.
Применение к тригонометрическим функциям и полиномам Чебышева.
Определение точного низшего (или высшего) предела отношения некоторых
определенных интегралов
1. Возвращаемся к общему случаю каких угодно функций
*Лх), <р2 (*)....^-(*),... (О
п. 1 гл. I , ортогональных по отношению к некоторой неотрицательной
функции р(х) и нормальных. Обозначим через 5" ( /) интеграл
S Pix)pl(x)dx = f pf(x)dx - 2 Al , (2)
a a k- I
где, напомним
Ак =/ p(x)f(x)<pk(x)dx. (2,)
а
Величина S" (J) зависит от вида функций ^* (х) и выбора функции Дх), но,
каковы бы ни были эти функции, S"(f) всегда есть невозрастающая функция
значка п и неотрицательная.
Может случиться, что для данной системы функций фк(х) интеграл. S,, (/)
будет стремиться к нулю при беспредельном возрастании значка п для всякой
функции Дх), принадлежащей некоторому классу функций, определяемому теми
или иными условиями. При этом условии равенство (2) приводит в пределе
при п -*•00 к уравнению
/p(x)/J(x)rfx= 2 Al, (3)
а Аз I
которое будет иметь место для любой функции /(х), принадлежащей
рассматриваемому классу.
Уравнение (3) мы будем называть уравнением замкнутости функций $к(х), а
саму систему (1) этих функций - замкнутой системой по отношению к данному
классу функций Дх).
38
Если окажется, что уравнение замкнутости (3) будет справедливо для любой
функции, интегрируемой в промежутке [а, Ъ], то всякую систему функций
(1), для которой это обстоятельство имеет место, будем называть абсолютно
замкнутой или просто замкнутой (когда этот сокращенный термин не может
вызывать никаких сомнений) *).
Очевидно, что всякая ортогональная и нормальная система функций ifik(x)
будет замкнутой по отношению к классу функций Дх), которые допускают
равномерное разложение в промежутке [а, Ь\ вида
/(х) = 2 Л* **(*). (4)
*= 1 *
Стоит умножить это равенство на р(х) Дх) dx и проинтегрировать по х в
пределах от а до Ь, чтобы получить уравнение замкнутости (3).
Но система функций ф* (х) может быть замкнута для известного класса
функций или даже абсолютно замкнута, когда разложение (4) не имеет места.
Теория замкнутости имеет разнообразные и важные применения к решению
многих вопросов, которые не могут быть решены методом разложения функций
в ряды, а в частности, приводит к общему приему решения и самой задачи о
разложении функций в ряды по функциям данного вида.
Эта последняя задача играет первостепенную роль в анализе и при
решении
всех основных задач математической физики.
В этой главе мы изложим основные теоремы замкнутости и их простейшие
применения, необходимые для дальнейшего.
2. Обозначим через F(x) и Ф(х) две какие-либо функции, интегрируемые в
промежутке [а, Ь\, к положим
F(x)= 2 Акч>к(х) + р"(х), (5)
к= 1
Ф(х)= 2 Вк<рЛ(х) + о"(х) , (5,)
*= 1
где
Ак = / р(х) F(x) ф. (х) dx , (6)
Вк = S р(х) Ф(х)ф (х)dx. (6,)
*) Обыкновенно пользуются другим определением замкнутости, а именно:
Система ортогональных (и нормальных) функций (1) называется замкнутой,
если не существует отличной от нуля непрерывной функции /(*),
удовлетворяющей уравнениям
Ь
{ Р(х)/(х) fk(x) dx = О а
при всяком (целом) к.
Это определение эквивалентно с данным нами в тексте, которое является
более удобным для дальнейших соображений - см. мой мемуар "Sur la theorie
de fermeture etc" (Mem. de 1'Acad. des Sciences de St. Petersbouij.,CI.
Ph. М., 1911, Vol. XXX, n. 4).
39
Умножив равенство (5) нар(х) >рт(х) dx и интегрируя результат в пределах
от а до Ь, получим, приняв в расчет соотношения (2) и (3) гл. I и
равенство (6), ь
S р(X) р"(х) (x)dx = 0 (7)
а
при всяком т, меньше или равном п.
Вычитая затем равенства (5) и (5,) одно из другого, находим
р"(х) = а"(х)- 2 (Ак-Вк)ок(х) + Р(х)-Ф(х).
