Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(поверхностные) условия:
Х" = Хх cos (п, х) + Ху cos (п, у) + Хг cos (п, г),
У" = Yx cos (п. х) + У у cos (п, .1") + Уг cos (п, г), (7)
Z" = Zx cos (п, x)+Zy cos (n, у) + Zz cos (n, z),
где X", Y", Z" - проекции на оси координат нормальной составляющей
внешних сил, приложенных к точкам поверхности тела, т.е. заданные функции
х, у и:, ал обозначает направление нормали к поверхности тела в точке х,
у, z (идущее внутрь тела).
И в рассматриваемом случае приходится искать такие решения уравнений (6),
которые удовлетворяют указанным выше шести начальным условиям и трем
предельным (поверхностным) условиям вида (7).
58
7. В предыдущих примерах мы рассматривали такие явления тепла, звука,
света, электричества, когда величины, их характеризующие, изменяются с
течением времени, т.е. так называемые неустановившиеся динамические
процессы.
В частности возможны и такие динамические процессы, когда величины, их
характеризующие, не зависят от времени. В этом случае получаются так
называемые установившиеся движения.
Предположим, например, что несжимаемая жидкость заключена в твердом
замкнутом сосуде, который вращается равномерно вокруг некоторой
неподвижной оси. Жидкость заполняющая сосуд, может при этом двигаться с
потенциалом скоростей (см. п. 4), который будет зависеть лишь от
координат х, у, г (и не зависеть от времени). Получится установившееся
течение в рассматриваемой жидкой массе.
Определение потенциала U приведется к интегрированию уравнения
d2U d2U Ъ 2U
г*7 + дУ2 + э7 ~0, (8)
которому должно удовлетворять U во всех точках внутри сосуда (и которое
получается из (4), если предположить, что U не зависит от t). При этом,
понятно, начальные условия отпадают, но предельные условия по-прежнему
должны выполняться. Нормальная составляющая скорости любой частицы
жидкости, прилегающей к стенке сосуда, должна по-прежнему равняться
нормальной составляющей скорости соответствующей точки твердого сосуда.
Так как в данном случае проекции и, и, w скоростей точки жидкости на оси
координат суть
ъи ъи ъи
и = - , и = - , w = - ,
Ъх Ъу Ъг
то нормальная составляющая жидкой частицы в точке х, v, z поверхности
сосуда будет равна значению выражения
ъи ъи ъи
- cos (п, х) + - cos (п, у) + - cos (п, г)
Ъх Ъу Ъг
для этих значений х, г и z. Нормальная же составляющая скорости той точки
стенки твердого сосуда, координаты которой имеют те же самые значения,
известна, ибо нам дано движение сосуда, т.е. представляется заданной
функцией f{x, г, г) координат точек его поверхности.
Задача приводится, следовательно, к отысканию такого решения U уравнения
(8), которое удовлетворяет предельному (поверхностному) условию
ъи ъи ъи
- cos (w, х)+ -cos (п, у) + - cos (и, z) =f{x, у, г)
Ъх Ъу ' Ъг
во всех точках поверхности, ограничивающей жидкость.
Заметим, что задача является основной в гидродинамике и носит название
задачи Карла Неймана.
8. К подобным же задачам анализа приводятся и все статические задачи
физики, как, например, задача о тепловом равновесии тела, о распределе-
59
нии статического электричества на данном кондукторе, задача о равновесии
упругих тел, задачи теории притяжения по закону Ньютона и т.п.
Так, например, задача о равновесии электричества на кондукторе данной
поверхности приводится к определению потенциала U электрических масс,
распределенных по поверхности кондуктора, при условии, чтобы U и внутри и
вне поверхности кондуктора удовлетворял уравнению
d2U d2U Ъ21)
Д U= -- =0, (9)
Ъх2 Эг Ъг
которое носит название уравнения Лапласа, обращался в нуль для бесконечно
удаленных точек пространства и стремился к постоянной величине при
приближении точки х, у, г с внешней стороны к любой точке поверхности
кондуктора.
Если такое предельное значение U в точках поверхности кондуктора
обозначим через U,., то предыдущие условия представятся в виде
Ue = const, lim U = 0, (10)
Г- °°
где г2 = .т2 + у2 +г2.
Задача опять приводится к определению такого решения уравнения (9),
которое удовлетворяло бы предельным условиям виДа (10).
9. Мы имеем в этом примере частный случай так называемой внешней задачи
Дирихле, имеющей первостепенное значение как в анализе, так и в
математической физике.
В общем виде эта задача распадается на две: внутреннюю и внешнюю. В
первой требуется найти такое решение уравнения Лапласа для всех точек,
лежащих внутри данной замкнутой поверхности, которое удовлетворяло бы
предельному условию
U,= j\x, у, г),
где Uj обозначается предел, к которому стремится функция U при
приближении точки х, у, г к какой-либо точке поверхности с ее внутренней
стороны, a f(x, у, г) означает заданную функцию точек этой поверхности.
Внешняя задача требует определения функции U, удовлетворяющей уравнению
Лапласа во всех точках, внешних по отношению к некоторой данной замкнутой
поверхности, при условии соблюдения предельных условий вида
Ue = /(*>z), lim U = 0.
Г- °°
10. Во всех предыдущих примерах, взятых из разнообразных областей
