Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
(3).
2. Другой классической задачей для тел линейных размеров, которая: как и
предыдущая, была поставлена Фурье, является задача об охлаждении
неоднорюдного сплошного кольца. Под этим именем подразумевается весьма
тонкое (в пределе бесконечно тонкое) твердое тело, имеющее вид какой
угодно замкнутой и не пересекающей себя кривой.
Если такое тело, нагретое до известной температуры, поместить в среду с
температурой нуль, то оно начнет изменять свою температуру с течением
времени. Фурье указал, что закон изменения температуры (J с течением
времени и в различных точках такого тела должен подчиняться тому же
самому уравнению (1), если только подразумевать в нем под х дугу кривой ,
представляющей контур кольца и отсчитываемой от некоторой его
определенной точки в определенном направлении. Очевидно, что в данном
случае начальное условие остается неизменным, т.е. дается тем же
уравнением
(2). Что же касается предельных условий (3), то они заменятся двумя
следующими:
, ~ . э^(г,0) bU(t,l)
U(t, 0) = U(t, I), -г-1- = -г1- , (4)
Эх Эх
где I обозначает периметр кривой кольца. Условия (4) выражают
аналитически требование непрерывности температуры и ее течения в
рассматриваемом замкнутом (сплошном) теле.
3. Эта задача допускает различные обобщения.
64
Вместо сплошного кольца мы можем рассматривать стержень, согнутый в
какую-либо дугу, приведя в соприкосновения его крайние сечения. Закон
изменения температуры U для всех точек такого согнутого стержня, лежащих
между его концами, будет, очевидно, определяться тем же самым
дифференциальным уравнением вида (1), если считать в нем, как и в случае
сплошного кольца, х за дугу кривой, получившейся после изогнутая стержня.
Останется неизменным и начальное условие (2), но предельные условия
будут, вообще говоря, иные.
Ввиду различия физических свойств в крайних площадках стержня,
приведенных лишь в соприкосновение, температура U может изменяться
скачком при переходе по дуге кривой с одной стороны плоскости их
соприкосновения на другую. Если при этом остановимся на гипотезе,
принятой в теории теплоты, что количество тепла, протекающего через
плоскость соприкосновения с одной стороны на другую, пропорционально
разности температур, то придем к следующим условиям:
Э U(f, 0)
- A [U(t, 0) - U{t, /)] = 0 при х = 0,
Ъх
mt, О ax
(5)
A [ U(t, 0) - U(t, /)] = 0 при x = /*),
где A - положительная постоянная.
Если допустим, что температурного скачка в месте соприкосновения не
происходит, что соответствует предельному случаю, когда постоянная А
обращается в °°, то предыдущие условия заменятся такими:
MJ(t, 0) ЭU(t, I) **)
u(t,o)=u(t,i), т = *(/)
Эх Эх
4. Можно предположить, наконец, что согнутый стержень образует
незамкнутую кривую и в таком виде помещен в среду, температура которой
равна нулю. Здесь возможны различные предположения.
При некотором положении его крайних сечений может случиться, например,
что каждой из этих сечений будет терять тепло через лучеиспускание и в то
же время поглощать часть лучистой теплоты, испускаемой другим, ему
противостоящим крайним сечением. Дифференциальное уравнение,
характеризующее закон изменения тепла в теле, останется тем же, начальное
условие также не изменится, но предельные условия заменятся, вообще
говоря, такими:
bU(t, 0)
----------- =aU(t,Q)+mt,l),
Э U{t, /) (7)
------•' = "jUit, 0) + hU(t, I)
дх
где а,/3,7, 6 суть некоторые постоянные.
*) Значения к при х = 0 и х = I различны.
**) См., например, Riemann-Weber, "Die part iellen Differential-
Gleichungen der Mathem. Physik" (Bd. II, 1912, p. 85, § 34).
65
S. Сопоставляя все сказанное, видим, что различные задачи об
охлаждении тел линейных размеров, переведенные на язык анализа, сводятся
к интегрированию дифференциального уравнения (1) при начальном условии
(2) и при различных предельных условиях. Эти последние являются частными
случаями следующих двух условий общего вида:
ЭС/(Г, 0) , ч bU(t,l)
L(U)=alU(t,0)+a,---------------------------------------V + e3-t/(r,/)+e4-
*-------------------- =0,
дх дх
dU{t, 0) dU(t, 1)
L,(l/) = b,U(t,0) + b2 ---------- +b3U(t, l) + b4 ---i =0
dx dx
(8)
где ak и bk (k = 1, 2, 3, 4) суть некоторые постоянные. В этом обобщенном
виде мы и будем рассматривать задачу.
6. Преобразуем прежде всего дифференциальное уравнение (1) к несколько
иному виду. Умножим его на А: и вместо независимой переменной х введем
новую ?, положив
dx х dx
dt= - , И / ~ +С> С9)
к о к
где С есть некоторая постоянная. Так как по предыдущему функция
к, оставаясь положительной в промежутке [0, /], не обращается
в нуль ни в од-
ной из его точек, то преобразование (9) всегда возможно.
Если положим
gk=piX), mk = q{?), (10)
то уравнение (1) примет вид
dU д2 U
Р(в- * w
Для простоты мы опять заменим букву ? через х и будем в дальнейшем
исходить из уравнения вида
dU &U
д t дх2
р{х) - = - - q(x) U, (А)
предполагая, чтох меняется в пределах от а до b(b>а). При этом
