Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
вопросу.
Ищем частное решение уравнения (А) в виде произведения двух функций, одна
из которых зависит только от t, другая - только от х, полагая
(16)
U{t, х) = W(t) Vix). Получаем
(17)
1 dWit)
Pix)Vix)
Wit) dt
*) Ибо в этом случае k(a) = k(b).
71
Так как первая дробь зависит лишь от х, вторая - только от ?, то
необходимо
V"(x)-q(x)V(x) 1 dW(t)
+Х = 0,-------------- -- + Х = 0,
p(x)V(x) W(r) dt
где X какая угодно постоянная. Последнее уравнение дает W(t) = Ae~Xt,
где А - произвольная постоянная. Таким образом, искомое частное решение
типа (17) должно иметь вид
U(t,x) = Ae~ Xf V(x), (18)
где V(x) есть функция, удовлетворяющая линейному уравнению 2-го порядка
К" + [Хр(х) -q(x)\ V(x) = 0. (19)
Полученное решение будет удовлетворять и предельным условиям (В,) или
(В2), если подчиним функцию V(x) следующим предельным условиям: в первом
случае (условие (В|))
V'(b) = aV(a)+pV(b), V '(а) = у V(a) + 6 V(b), (20)
во втором (условия (В2))
V(b) = pV(a), У'(Ь) = оУ'(а) + тУ(а), (20,)
которые сейчас же выводятся из (В, ) и (В2), если в зти равенства вместо
U(t,x) подставить выражение (18).
Функция U(t,x), определяемая равенством (18), будет, следовательно,
удовлетворять как уравнению (А), так и предельным условиям (В,) или (В2),
если определить функцию V(x) как решение уравнения (19), удовлетворяющее
соответственно предельным условиям (20) или (20,).
13. Задача об интегрировании дифференциального уравнения (А) с частными
производными сводится этим приемом к особого рода задаче об
интегрировании обыкновенного линейного дифференциального уравнения 2-го
порядка, когда требуется найти интеграл его не по начальным данным
(интеграл Коши), как в общей теории линейных уравнений, а по некоторым
условиям на концах данного промежутка изменения независимой переменной х\
в рассматриваемом нами случае эти определенные условия выражаются
уравнениями (20) или (20,).
Уравнение (19) содержит неопределенный параметр X; при каком угодно
(неопределенном) X, вообще говоря, не существует функции V(x), отличной
от нуля и удовлетворяющей одновременно уравнению (19) и условиям (20) или
(20,). Если искомый интеграл, не равный тождественно нулю, и существует,
то лишь при некоторых особенных значени-ниях X.
Допустим, что существует несколько таких значений, которые обозна-
чимчерез
X,, Х2,..., X*,... (21)
Каждому из них будет соответствовать определенная, не равная тождест-72
венно нулю функция V(x), удовлетворяющая условиям (19) и (20) или (19) и
(20,).
Обозначим функцию, соответствующую числу Л*(& = 1, 2, . . .), через Vk(x)
¦ Для каждой такой функции получим соответствующее решение уравнения (А)
по формуле (18) в виде
Uk(t',xy=Ake~x^Vk(x), (22)
где А к есть произвольная постоянная, которое будет удовлетворять и
предельным условиям (В,) или (В2). Так как уравнение (А) и эти последние
условия суть линейные однородные функции от U и ее производных, то и
сумма какого угодно числа п решений вида (22) есть также решение
уравнения (А), удовлетворяющее условиям (В,) или (В2).
Если бы оказалось, что число различных чисел (21) \к бесконечно велико,
то, положив
U(t,x) = I Аке~х*'Ук(х), (23)
fc= l
получим бесконечный ряд, который формально будет удовлетворять и
уравнению (А) и условиям (В,) или (В2), ибо каждый его член обладает этим
свойством. Если при соответствующем выборе пока неопределенных
коэффициентов Ак удастся сделать этот ряд и ряды, составленные из первых
производных его членов по t и из производных двух первых порядков по х,
сходящимися равномерно при всяком положительном t и при всех значениях х
в промежутке [а,Ь\, то формула (23) даст функцию от t и х, непрерывную
вместе с ее производными
Э U(t,x) d2U(t,x)
dt ' дх2 '
действительно удовлетворяющую уравнению (А) и предельным условиям (В,)
или (В2).
14. Чтобы получить окончательное решение задачи п. 7, необходимо еще
удовлетворить начальному условию (С). Полагая в выражении (23) г = 0,
получаем
S AkVk(x)= f(x). (24)
к= 1
Если поэтому удастся выбрать коэффициенты А к не только так, как только
что указано в конце предыдущего пункта, но и так, чтобы было
удовлетворено равенство (24) для всех значений х промежутка [а,Ь\, то
интересующая нас задача будет разрешена. Функция U(t,x), определяемая
рядом (23), даст то единственно возможное решение задачи, которое она
способна допускать.
15. Таким образом, задача физики об охлаждении тел линейных размеров,
переведенная на язык анализа и соответствующим образом обобщенная,
приводит к двум вопросам чистого, анализа первостепенной важности: к
задаче об интегрировании линейного дифференциального уравнения (19) при
предельных условиях (20) или (20,), которую мы для краткости условимся
называть задачей (А) , и к задаче о разложении произвольных функ-
73
ций от одной переменной х в сходящиеся ряды по особого рода функциям,
обозначенным нами через Vk(x), которую будем называть задачей (В) *).
Задача (А) приводится к доказательству существования бесчисленного
