Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 29

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 159 >> Следующая

преобразовании переменной условия (8) заменятся, очевидно, такими:
dU{t, a) dU(t, b)
L(l/) =a{U(/, а) + а2 --------- +a3U(t,b)+a4 =0,
дх дх
, ч dU{t,a) dU(t,b)
L\(U) = bi U(t, a) + b2 --' +b3U(t,b)+b* -------------- =0.
dx dx
(B)
К зтим условиям нужно еще присоединить начальное условие вида
{/(0, *)=/(*)• (С)
Приняв в расчет выражения (10) для р(х) и q(x) и сказанное раньше о
свойствах функций k,g и т, заключаем, что для задач математической фи-
66
зики функции р{х) и q(x) в основном уравнении (А) должно считать
неотрицательными в промежутке [а,Ь], причем первая из них не должна
обращаться в нуль ни в одной из точек этого промежутка.
7. Линейные формы правых частей предельных условий (В) должны быть
линейно независимыми между собой. Поэтому по крайней мере одна из
разностей
a^k -akbi (i, к = 1,2,3,4)
должна быть отлична от нуля.
Чтобы остановиться на чем-нибудь определенном, рассмотрим разность а2ЬА -
а*Ьг. Возможны два случая: (а) либо эта разность не равна нулю, либо (в)
эта разность равна нулю (а какая-либо другая не нуль).
В первом случае (а) уравнения (В) можно решить относительно величин
bU{t, a) dUQ.b)
и ------------------- ,
дх дх
причем получим dU(t, Ъ)
-f- =aU(t,a) + pU",b), (В,)
дх
bU(t, а)
' = yU(t, а) + bU(t, b),
дх
где а, <3,7 и 6 суть некоторые постоянные.
Во втором случае (в) уравнения (В) легко приводятся к двум следующим:
U(t,b) = pU(t,a), ^
Э U(t,b) dU{t,a) ..........
-------- =o ------------ +rU(t, a),
dx dx
где p, о и т - также некоторые постоянные *).
В дальнейшем мы будем различать два класса задач: к первому классу
отнесем те, которые требуют интегрирования уравнения (А) при предельных
условиях вида (Bi), ко второму те, когда интегрирование уравнения (А)
должно быть выполнено при соблюдении условий (В2).
Припоминая сказанное выше (см. пп. 1 - 5), убеждаемся, что условия (Bt)
заключают в себе задачи об охлаждении незамкнутых твердых тел ли-
*) Здесь предположено, что кроме условия (в) выполнено также условие оЗй4
-~а4Ь2 #0. Если вместо последнего неравенства выполняется неравенство в,
А, --в,А, Ф 0, то условия (В) приводятся к граничным условиям, которые
получаются из (В,), если в них поменять местами точки в и А. Кроме того,
возможен еще случай, когда граничные условия (В) приводятся к виду
Ъи
u(t,b) = pu{t,a), b,u(t,a)= Ьг - (f, а),
Ях
где й? +Ь\ Ф 0 и pb, = 0, и случай, получающийся из последнего заменой а
на Ь. Последние два случая называются исключительными и рассматриваются в
гл. VI (условия (2), (3) или (4) гл. VI).{Прим. ред.).
67
нейных размеров (прямой стержень, стержень, изогнутый в незамкнутую
кривую), вторые же (В2) соответствуют таким же задачам замкнутых твердых
тел линейных размеров (сплошное кольцо, стержень, изогнутый в замкнутую
кривую). Эти два класса задач, различные по физическим особенностям,
представляют некоторые особенности и с точки зрения чистого анализа и
потому заслуживают особого рассмотрения.
8. Рассматривая вопрос с чисто аналитической точки зрения, мы можем
обобщить задачу, предполагая в уравнении (А) функции р(х) и q{x) какими
угодно непрерывными функциями от х, не подчиняя их непременному условию
оставаться положительными или не обращаться в нуль в промежутке [а, Ь].
Точно так же в предельных условиях (В,) и (В2) можем предполагать
постоянные а, 0, у, 6 и р, о, т какими угодно. Задачам же, могущим иметь
приложение в математической физике, будут соответствовать лишь те случаи,
когда уравнением (А), начальным условием (С) и предельными условиями (В,
) или (В2) задача определяется вполне и единственным образом. Выяснением
условий, достаточных для определенности задачи, мы прежде всего и
займемся*).
Допустим, что существуют две различные функции Ux и U2, удовлетворяющие
всем поставленным требованиям.
Положим V= Ui - U2. Так как дифференциальное уравнение (А) линейно
относительно U и ее производных, то V удовлетворяет уравнению того же
вида, т.е.'
ЭИ д2 И Р(х) Т~ = -</(*) У.
д t Ъх1
и начальному условию
И(0,х) = 0. (11)
Умножив предыдущее уравнение на Vdx и интегрируя результат по х от
а до Ь, получаем
1 Э ь , ь д2 V ь
~ - S Р(х) v2dx = / v - dx- f </(x)V2Jx, (12)
2 Ot a a OX a
так как
ft dV 1 Э ft
S P(x)V - dx= - - f p(x)V2 dx.
a Ot 2 Ot a
Заметив, далее, что
ft d2V dV
f V -- dx = V -
a dx2 dx
приводим равенство (11) к виду
(? )'*
1Эь , ь , ft / эи V эй и
- - / P(x)V2dx+ f q(x)V2dx+ / 7 *-'^- •
2 at a a a \ OX / OX ' a
*) Решения при атом предполагаются достаточно гладкими функциями. (Прим.
ред.)
68
Отсюда, интегрируя по / от 0 до какого-либо значения /, выводим
Если р{дг) и q(x) суть функции только непрерывные, то из этого
соотношения нельзя сделать никаких заключений относительно величины У.
Допустим, что р(х) и q(x) остаются неотрицательными в промежутке [а, Ь\
(хотя и могут принимать значения, равные нулю*)). Очевидно, если при этом
то необходимо V = Ux -U2 = 0 для всех значений t и при всех значениях х в
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed