Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 24

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 159 >> Следующая

равняться нормальной составляющей скорости той точки стенки сосуда,
которая совпадает с рассматриваемой частицей жидкости, а нормальная
составляющая скорости каждой точки твердой стенки сосуда есть величина
известная, ибо движение сосуда наперед задано.
Здесь опять приходим к необходимости искать такое решение
дифференциального уравнения (4), которое должно удовлетворять двум
заданным начальным условиям и одному условию на поверхности,
ограничивающей рассматриваемую жидкую массу, т.е. так
называемому.предельному (или граничному) условию.
5. Различные задачи теории света, электричества и магнетизма также
приводятся к интегрированию уравнений, аналогичных уравнению (4).
Так, обращаясь к электромагнитной теории света Максвелла, обозначим через
с скорость света, через е - так называемую диэлектрическую постоянную
данной силы, через X - коэффициент Электропроводности, через ц -
коэффициент так называемой электрической проницаемости.
ъ2и . ы2 а
(4)
ьи
чтобы U и - обращались в наперед заданные функции от координат
56
Закон распространения электрических волн в данной среде по теории Герца -
Максвелла характеризуется вектором U электрических сил, который как
функция времени t и координат х, v, г точек среды должен удовлетворять
следующему дифференциальному уравнению:
Если среда, в которой происходит явление, есть свободный эфир, то 6=1,
/1=1, X = О
и уравнение (5) приводится к следующему:
В данном случае среда, в которой происходит явление, беспредельна; за
границы се можно принимать бесконечно удаленные точки пространства.
Величина 4тгХд - характеризует потерю электрических сил с течением
времени, или так называемую абсорбцию.
Задача получит определенный смысл, если мы зададим в начальный момент
времени распределение электрических сил, т.е. значения V для этого
момента для всех точек х, у, г пространства и абсорбцию, т.е. значения
ъи
- . Таковы начальные условия задачи.
Э/
Предельные (граничные) условия заменяются некоторыми условиями, которые
налагаются на значения функции U для бесконечно удаленных точек среды.
Мы видим, между прочим, что с аналитической точки зрения рассматриваемая
задача тождественна с задачей гидродинамики предыдущего пункта, если
предположить, что жидкость (газ) заполняет не замкнутый сосуд
ограниченных размеров, а все беспредельное пространство.
6. Мы рассматривали до сих пор простейшие случаи, когда явление
характеризовалось вполне одной величиной, для определения которой
получалось одно дифференциальное уравнение. Вообще же в математической
физике изучаются и такие физические процессы, которые определяются не
одним, а несколькими параметрами, причем для определения этих параметров,
зависящих от нескольких независимых переменных, получается система
дифференциальных уравнений с частными производными.
Простейшими примерами могут служить общие уравнения гидродинамики,
электромагнитной теории света, теории колебания упругих твердых тел и др.
Так, например, закон колебания упругого твердого тела будет известен,
если будут известны величины и, и и w перемещений каждой точки тела в
функции времени t и координат дг, у, г.
(5)
При X = 0 это уравнение совпадает с (4), если положим с2 /ед = аг.
(5.)
ъи
57
Аналитически задача приводится к определению величин и, v и vv при помощи
следующей системы дифференциальных уравнений:
д2 и дХх dXv ЪХг
= fiX---------?-------у----------
Ъ t2 дх Ъу dz
d2v дУх дУу д Уг
- = цУ = у- , (6)
dt dx dу dz
d2 vv dZx dZy dZz
V T7 = --------: -- ,
dt дх Ъу dz
где д есть плотность тела, X, У и Z - заданные функции от х, у, z,
представляющие собой проекции на оси прямоугольных координат заданных
объемных сил, действующих на частицы тела, а Хх, Ху,... ,Zz суть линейные
функции от частных производных первого порядка по х, у, z искомых функций
и, v и w с постоянными коэффициентами, зависящими от физических свойств
данного тела.
В момент, принимаемый за начальный, нам известны и отклонения и, и, tv
d и dv dw
всех точек тела от их естественного состояния и скорости - ,
- , - ,
^ dt dt dt
которые сообщены точкам в этот начальный момент, т.е.все эти шесть
величин должны быть заданными функциями координат х, у, z при значении г,
которое принимается за начальное. Таким образом, задача приводится к
интегрированию уравнений (6) при выполнении только что указанных шести
начальных условий.
Кроме того, нам известны тс силы, которые прилагаются к точкам
поверхности, ограничивающей тело, с внешней стороны. Если частицы тела,
прилегающие к его поверхности, не отрываются от тела этими заданными
силами, то необходимо предположить, что составляющие последних по нормали
к поверхности уравновешиваются нормальной составляющей тех внутренних
упругих напряжений тела, которые при этом развиваются в теле.
Удовлетворяя этому условию, придем к заключению при помощи основных
положений теории упругости, что в каждой точке поверхности при всех
значениях времени t должны быть выполнены следующие предельные
Предыдущая << 1 .. 18 19 20 21 22 23 < 24 > 25 26 27 28 29 30 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed