Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 21

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 159 >> Следующая

промежутке [0, я], но не обращающаяся в нуль на концах этого промежутка.
Подразумевая под е , как всегда, произвольно заданное положительное
число, положим F(о) = ао и определим постоянную а из условия
F(e) = ae=/(e). (30)
Очевидно, для значений о между 0 и е будем иметь
lF(ip)| <М, (31)
гдеМ есть шах Дх) в промежутке [0, я].
Точно так же, положив F, (о) = 0(я - <р) и определив 0 из условия
F,(ff-e) = 0e=/(ff-e), (30,)
получим функцию F, (<р), удовлетворяющую условию
lF,("p) | <М (.!!,)
для всех точек промежутка [я - е, я].
Составим теперь функцию ф(х), определяемую условиями
F(о) при 0 < о < е,
Ф(Ф) = ' f(o) при е<<р<я -е, (32)
F, (<р) при я - е < о < я.
Определенная таким образом функция в силу (30) и (30,) непрерывна в
промежутке [0,я], имеет, очевидно, интегрируемую в этом промежутке первую
производную и обращается в нуль при о = 0 и о = я.
Следовательно, система тригонометрических функций (26) замкнута по
отношению к функции ф(о), т.е.
s"№) < € при п> п0. (33)
14. Обращаемся снова к неравенству (10), положив в нем F(x) = f(o), Ф(<р)
= Ф(>Р)- Приняв в расчет (32), получаем
/ Р(х) [ F(x) - Ф(х)]2 dx= f [ f(o) - ф(о)]2 do =
а О
= / [№ - F("p)]2 do+f [По) - F,(<р)]2 do.
О тг - 6
Отсюда в силу (31) и (31,) выводим
f [По)~ФШ2<*о<8А^е. о
Неравенство (10) при помощи этого неравенства и (33) дает V 5"(Л < \/Т
(1+2 Af) = e при п> п0
- неравенство, справедливое для любой функции До), подчиненной единст-
49
венному условию, что она допускает интегрируемую производную в промежутке
[0, тг].
Отсюда следует, что система функций фк(х) (26) есть система замкнутая по
отношению к любой функции f(<p), имеющей первую производную,
интегрируемую в промежутке [0, я].
Сопоставляя этот результат с общей теоремой п. 9, получаем теорему:
Система тригонометрических функций вида
есть система абсолютно замкнутая.
15. Установленные теоремы мы применим теперь к определению точных
низших пределов отношения некоторых определенных интегралов к выводу
некоторых других неравенств, имеющих существенное значение для дальнейших
исследований.
Пусть /(х) есть функция, имеющая производную /'(х), интегрируемую в
промежутке [0, я].
По предыдущему имеем равномерное разложение
имеющему место для всякой функции Дх), допускающей интегрируемую 50
Фк(х)= \/2/я sinкх (* = 1,2,3,...)
(34)
Дх) = V - ? в* cos кх.
я * = 0
о
к~0
Допустим, что функция Дх) удовлетворяет условию
f f(x)dx =0.
(35)
о
W во
В таком случае / Д(х)с/х= 2 в*. Но
Поэтому
(36)
Далее, так как система функций (34) абсолютно замкнута, то
J f'2(x)dx = 2 Ь\.
(36.)
о
Равенства (35) и (36,) приводят к следующему:
/ f'2(x)dx I f f2(x)dx= 2 bl l 2 ^ ,
J J Х~/ I J J V/ - "К I - . 5
0 0 *=1 k-\ k?
производную в промежутке [0, тг] и удовлетворяющей условию (35). Отсюда
сейчас же заключаем, что при этом отношение
} f'2(x)dx I f f2(x)dx> 1. о о
тг тга
Стоит заменить переменную х через --------- х - , чтобы
привести
Ь-а b-а
предыдущее неравенство к виду *)
K-f f'2(x)dx I f f2(x)dx > , (37)
а а (Ь - а)
а условие (35) к такому:
/ Дх)Ас = 0. (37.)
а
Нетрудно убедиться, что неравенство (37) дает точный низший предел
рассматриваемого отношения для всякой функции, подчиненной условию
тг(х - а)
(371). Стоит только положить Дх) = cos . Эта функция, очевид-
Ь - а
но, удовлетворяет условию (371), причем
** i ¦ 1 п(х ~ д> . , 5 ,*(*-"), *
К = ---------------- / sin2 --- dx I f cos2 dx = ;
.
(b - a) a b - a a b - a (b - a)
16. Подобным путем можно вывести многие другие неравенства, могущие
иметь полезные приложения и сами по себе представляющие интерес.
Пусть f(x) есть функция, могущая быть представленной в промежутке [О, тг]
в виде интеграла
/(*)= / fi(z)dz, (38)
о
где /i(z) есть некоторая интегрируемая функция, удовлетворяющая условию
] fl(x)dx = 0. (38.)
о
Очевидно, что Дх) удовлетворяет условиям ДО) = Дтг) = 0. Приняв в расчет
замкнутость системы функций (х) (26), можем писать
} f2(x)dx= 2 Ь\. о * = 1
С другой стороны, так как система функций 1/ y/iF, \/ 2/я cos кх есть
*) Аналогичное неравенство было выведено мною в 1896 г. в статье "Задача
об охлаждении неоднородного твердого стержня" (Сообщ. Харьковск. Мате м.
Общ., 1896г.). Другое доказательство неравенства (37) было дано в 1901 г.
в мемуаре "Probleme de refroidissemcnt d'une barre heterogene" (Annales
de Toulouse. 1901).
51
также абсолютно замкнутая, то
/ f\(x)dx = 2 в*, (39)
о *= 1
1 я
ибо по условию д0 = - / , / /,(х) dx = 0.
V7T о
Так как, далее, в данном случае
/ 2' я я д*
Ьк= у/ - / /(х) sin kxdx = - -¦=¦ f f\ cos kxdx- - ,
no kyj n о к
TO
я , " a\
f f2(x)dx = 2 . (39.)
0 k-\ k1
Равенства (39) и (39,) приводят к следующему неравенству:
/ f\ (х) dx I f f2(x)dx>\, о о
из которого, совершенно так же, как и в предыдущем пункте, заключаем, что
отношение
К = f /?(х) dx I f f2(x) dx > (40)
a a (b - a)
x
для всякой функции Дх) вида Дх) = / /,(г) dz, где Д(х) есть интегрируе-
а
Ъ
мая функция, удовлетворяющая условию f Д (х) dx = 0.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed