Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
а
Неравенство (40) дает точный низший предел для отношения К, в чем
убеждаемся, положив, в частности,
л(х - д) , я я(х - д)
/(х) = sin ------- , Д(х) =/ (х) = - cos ------- .
b - a b - a b - а
17. Разобьем промежуток [д, Ь] на псоставляющих
[д,Д1),(дь д2),... ,(а"_,,&]
и обозначим через lk длину it-го из них (д* _,, д*).
Предположим, что функция Дх), имеющая интегрируемую производную,
удовлетворяет условиям
f'f(x)dx=0, f2f(x)dx = 0, ..., fk f(x)dx = 0, ..., a a, ak-1
/ f(x)dx= 0. (41)
an-l
На основании теоремы п. IS имеем .. ak _ я2
Заметив теперь, что
К= f fn(x)dx I ff2(x)dx =
a a
= 2 /* f'2(x)dx I 2 /* f2(x)dx, (42)
k= I ak_, k = I a*_,
на основании предыдущего неравенства заключаем, что
К> тг2//2, (42.)
где / обозначает наибольшее из чисел /*.
Если в частности, все промежутки (40) равны между собой, то /* =/ = = (Ь
а)/н и мы получаем
2 2
А = / /'2 (лг) dx I / /2Cv) ?/jf > (42,)
fl a (o a)
- неравенство, справедливое для всякой функции Дх), удовлетворяющей
условиям (41) (при равенстве между собой всех п интервалов (40)).
Этим неравенством нам придется воспользоваться впоследствии.
ГЛАВА 111
Простейшие зада>ш математической физики и им соответствующие
дифференциальные уравнения.
Три типа этих уравнений:
1) уравнения аналитической теории тепла,
2) уравнения звука (света, электричества, магнетизма),
3) уравнения установившихся (стационарных) физических процессов.
Начальные и предельные условия. Определенность задач!.
Простейший случай распространения или распределения тепла в телах
линейных размеров
1. Решение задач математической физики приводится к определению одной
или нескольких величин, характеризующих тот или иной физический процесс,
совершающийся в данной среде (в данном теле), в зависимости от положения
каждой точки этой среды и времени при помощи одного или нескольких
дифференциальных уравнений. Эти уравнения выводятся при помощи небольшого
числа возможно простых гипотез, которые полагаются в основу теории
каждого физического явления и представляются как результат обобщения
длинного ряда опытов и наблюдений над физическими процессами, которые
действительно происходят в окружающей нас природе или создаются
искусственно. В результате такого отвлечения (обобщения) создается
небольшое число основных положений (гипотез), которые должны быть
независимы между собой и не противоречить ни одному из известных в данное
время фактор действительности. Эти гипотезы полагаются в основу теории
того или иного физического явления и вся теория развивается затем
дедуктивно при помощи аксиом математики и основных законов
53
общей механики по методам дифференциального и интегрального исчислений.
Таким путем по физическим данным каждой задачи составляются
дифференциальные уравнения, характеризующие сущность рассматриваемого
процесса для каждой точки среды и для каждого момента времени. Задача
сводится к определению в функции времени координат каждой точки среды, в
которой происходит изучаемое явление, и величин, определяющих физические
свойства среды, тех неизвестных, которые фигурируют в полученных
дифференциальных уравнениях, т.е. к интегрированию этих уравнений. При
этом получаемое таким путем решение должно удовлетворять всем данным,
которые получаются как результат непосредственного наблюдения над
изучаемым процессом.
2. Положим, например, что мы желаем изучить закон изменения
температуры с течением времени в каждой точке внутри данного твердого
тела, нагретого до известной температуры и помещенного затем в среду,
температура которой равна нулю. Тепловые свойства каждого тела
характеризуются тремя следующими величинами: удельной теплотой каждой его
точки, которую обозначим через с, его внутренней теплопроводностью,
которую обозначим через &, и его плотностью, которую обозначим через р.
Вообще говоря, величины с, к и р суть функции координат х, у и z точек
тела, различные для тел различного физического состава. Распределение
температуры должно зависеть от этих величин, которые являются данными,
наперед известными по опыту, для каждого тела.
Если обозначим через U искомую температуру данного тела, то при помощи
гипотез, положенных Фурье в основу аналитической теории тепла, выводится
упомянутым выше путем следующее дифференциальное уравнение, которому
должна удовлетворять искомая температура U для любого момента времени и
для всех точек х, у, z тела*):
Это есть дифференциальное уравнение, которое допускает бесчисленное
множество различных решений.
Но в данной физической задаче, нам наперед известна температура U в тот
момент, когда мы поместили нагретое тело в среду с температурой нуль,
т.е. известно значение U для всех точек тела в этот момент.
Следовательно, необходимо найти такое решение уравнения (1), которое в
начальный момент t = t0 обращалось бы в наперед данную функцию от х, у и
z.
Кроме того, поверхность, ограничивающая тело, непосредственно доступна
нашему наблюдению, и мы можем путем опыта знать, какое количество тепла
