Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
вполне определенный ответ, подобно тому, как дифференциальные уравнения
общей механики при определенных начальных данных должны давать
единственное и вполне определенное решение.
В действительной, наблюдаемой нами природе всякий физический процесс,
вызываемый определенными причинами, всегда принимает определенное,
единственно возможное течение. Материальное тело,например, помещенное в
определенное положение в пространстве и пущенное с определенной скоростью
под действием данных сил, может приобрести одно и только одно
определенное движение.
Поэтому первым и необходимым условием соответствия движений в построенных
нами моделях с движениями в действительных физических процессах, которые
мы желаем изобразить при помощи этих механических моделей, является
требование, чтобы упомянутые выше дифференциальные уравнения в
совокупности с начальными и предельными условиями давали, как сказано
выше, единственное и вполне определенное решение.
13. В дальнейшем мы подвергнем последовательному изучению
дифференциальные уравнения трех типов, указанных в п. 10, в соответствии
с различными задачами математической физики, которые характеризуются
этими различными типами уравнений.
Начнем со случая 1°, соответствующего процессам движения теплоты в
материальных средах, и в этой области изучим сначала простейшие вопросы о
распространении тепла в телах линейных размеров. К таковым принадпе-
62
жат классические задачи об охлаждении неоднородного твердого стержня, об
охлаждении стержня, согнутого в дугу и приведенного в соприкосновение
концами его, задача об охлаждении неоднородного сплошного кольца и др. В
соответствии с тем, что сказано в предыдущем пункте, займемся прежде
всего выяснением тех обстоятельств, при которых соответствующие такого
рода задачам уравнения, начальные и предельные условия дают действительно
единственное и определенное решение.
Задачи об охлаждении неоднородного твердого стержня, сплошного
неоднородного кольца, изогнутого стержня.
Им соответствующие дифференциальные уравнения, начальные и предельные
условия. Аналитическое обобщение этих задач.
Определение условий, достаточных для определенности задачи. Общий прием
решения этих задач по методам Эйлера, Бернулли, Фурье, Ляме.
Две основные задачи, из них вытекающие:
(А) Определение характеристических чисел и им соответствующих
фундаментальных функций;
(В) (Изложение произвольных функций в ряды по фундаментальным функциям
1. Обозначим, как и в п. 2 предыдущей главы, через с удельную теплоту
в каждом поперечном сечении тонкого твердого стержня, через к - его
внутреннюю теплопроводность, через т - лучеиспускательную способность
каждого поперечного сечения, через р - его плотность. Предположим, что
стержень нагрет до некоторой определенной температуры и в таком состоянии
помещен в среду, температура которой, предположим для простоты, равна
нулю. С этого момента, который примем за начальный, стержень начнет
охлаждаться, теряя тепло во внешнее пространство как путем лучеиспускания
каждого поперечного его сечения, так и путем лучеиспускания с площадок
его крайних сечений.
Примем за ось х прямую, по которой расположен стержень. Приравнивая то
количество тепла, которое притекает за промежуток времени dt к
элементарному объему стержня, тому количеству тепла, которое необходимо
ъи
для повышения температуры этого объема на - dt, приходим к следую-
Э t
щему дифференциальному уравнению:
которому должна удовлетворять температура U в каждый момент времени t и
для всякой точки х стержня.
Предположим, что начало оси х совпадает с одним нз концов стержня, и
обозначим через / его длину. Примем за начальный момент времени t = 0,
что всегда можем сделать.
ГЛАВА IV
О)
63
Так как температура U известна для каждой точки х стержня в момент t - 0,
то получаем начальное условие задачи в виде
U(0,x) = Дх), (2)
где Дх) - заданная функция от х для всех значений хотх = 0дох = /.
Выражая, наконец, аналитически условие, что количество тепла,
притекающего изнутри стержня к каждому из крайних его сечений, должно
уравновешивать количество тепла, теряемое этими сечениями через
лучеиспускание во внешнюю среду, получим два следующих предельных условия
рассматриваемой задачи, которые должны выполняться для любого значения t
и для значений х = 0 и х = /:
ъи
к- -hU = 0 при х = О,
Эх
ъи (3)
к - + HU = 0 при х = /,
Эх
где Л и Н обозначают лучеиспускательные способности двух крайних сечений
стержня.
По физическому смыслу величины g и к суть функции от х, всегда
положительные и не обращающиеся в нуль в промежутке [0, /], am есть
функция, только неотрицательная, могущая принимать и значения, равные
нулю. Что касается А и Я, то это суть величины постоянные, могущие
изменяться от 0 до + о°, сохраняя всегда положительные значения.
Таким образом, решение задачи приводится к интегрированию уравнения с
частными производными (1) при начальном условии (2) и предельных условиях
